Упр.913 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности. Векторы а и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а + 3b и а; б) b-2а и а? Ответ обоснуйте.
Пусть диагонали вписанного четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$E$$, а $$AA’$$ — диаметр описанной окружности.
Так как диагонали перпендикулярны, то четырёхугольники $$AEB$$, $$BEC$$, $$CED$$ и $$DEA$$ — прямоугольные. По теореме Пифагора:
$$AB^2=AE^2+BE^2,$$
$$BC^2=BE^2+CE^2,$$
$$CD^2=CE^2+DE^2,$$
$$AD^2=DE^2+AE^2.$$
Сложим попарно противоположные стороны:
$$AB^2+CD^2=(AE^2+BE^2)+(CE^2+DE^2),$$
$$AD^2+BC^2=(DE^2+AE^2)+(BE^2+CE^2).$$
Отсюда
$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.$$
Теперь докажем, что эта сумма равна квадрату диаметра описанной окружности. Проведём диаметр $$AA’$$. Тогда углы $$\angle ABA’$$ и $$\angle ADA’$$ прямые, так как опираются на диаметр.
Рассмотрим треугольники $$DBC$$ и $$DBA’$$. Имеем:
$$\angle DCB=\angle DBA’$$
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$DB$$, и
$$\angle DBC=\angle BDA’$$
как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$BA’$$. Значит, $$\triangle DBC \sim \triangle DBA’$$. При этом сторона $$DB$$ у них общая, следовательно, треугольники равны. Отсюда
$$BA’=CD.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABA’$$ по теореме Пифагора:
$$AA’^2=AB^2+BA’^2=AB^2+CD^2.$$
Так как $$AA’=2R$$, где $$R$$ — радиус описанной окружности, то
$$AB^2+CD^2=(2R)^2.$$
Следовательно, сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Тогда любая линейная комбинация этих векторов тоже коллинеарна им.
а) $$\vec a+3\vec b$$ и $$\vec a$$ — коллинеарны, так как $$\vec a+3\vec b$$ является суммой коллинеарных векторов.
б) $$\vec b-2\vec a=\vec b+(-2\vec a)$$ — коллинеарны, так как это сумма коллинеарных векторов.
Ответ
$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2=(2R)^2.$$ В обоих пунктах векторы коллинеарны.
