Упр.913 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
2. Векторы $$a$$ и $$b$$ коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) $$a+3b$$ и $$a$$; б) $$b-2a$$ и $$a$$? Ответ обоснуйте.

Пусть диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$E$$, а $$AA’$$ — диаметр описанной окружности.

Так как диагонали перпендикулярны, то $$AC \perp BD$$, значит треугольники $$AEB$$, $$BEC$$, $$CED$$ и $$DEA$$ прямоугольные. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AE^2+BE^2,$$
$$BC^2=BE^2+CE^2,$$
$$CD^2=CE^2+DE^2,$$
$$AD^2=DE^2+AE^2.$$

Сложим попарно противоположные стороны:

$$AB^2+CD^2=(AE^2+BE^2)+(CE^2+DE^2),$$
$$AD^2+BC^2=(DE^2+AE^2)+(BE^2+CE^2).$$

Следовательно,

$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.$$

Теперь рассмотрим диаметр $$AA’$$. Тогда треугольники $$ABA’$$ и $$ADA’$$ прямоугольные, поэтому

$$AA’^2=AB^2+BA’^2,$$
$$AA’^2=AD^2+DA’^2.$$

Из равенства вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, получаем, что треугольники $$DBC$$ и $$BDA’$$ равны, откуда $$BA’=CD$$. Аналогично $$DA’=BC$$.

Тогда

$$AA’^2=AB^2+BA’^2=AB^2+CD^2,$$
$$AA’^2=AD^2+DA’^2=AD^2+BC^2.$$

Значит, сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности:

$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2=AA’^2=(2R)^2,$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности.