Упр.912 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен сумме двух других отрезков. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М — середина отрез ка АО. Найдите, если это возможно, та кое число k, чтобы выполнялось равенство а) АС = kAO; б) BO = kBD; в) OC = kCA; г) АВ = kDC; д) BC = kDA; е) AM = kCA; ж) MC = kAM; з) АС = kCM; и) АО = kBD.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Тогда диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Кроме того, противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны:

$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$

Рассмотрим каждый пункт отдельно.

а) $$AC=kAO.$$ Так как точки $$A,O,C$$ лежат на одной прямой и $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, то

$$AC=2AO,$$

следовательно, $$k=2$$.

б) $$BO=kBD.$$ Поскольку $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, имеем

$$BO=\frac12 BD,$$

значит, $$k=\frac12$$.

в) $$OC=kCA.$$ Точки $$O,A,C$$ коллинеарны, причём $$OC=\frac12 CA$$. Но направление векторов $$\overrightarrow{OC}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ противоположно, поэтому

$$k=-\frac12.$$

г) $$AB=kDC.$$ В параллелограмме $$AB=DC$$ и направления совпадают, значит

$$k=1.$$

д) $$BC=kDA.$$ Здесь $$BC=DA$$, но направления противоположны, поэтому

$$k=-1.$$

е) $$AM=kCA.$$ По условию $$M$$ — середина отрезка $$AO$$, а $$AO=\frac12 AC$$. Тогда

$$AM=\frac12 AO=\frac14 AC.$$

Так как направления $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ противоположны, получаем

$$k=-\frac14.$$

ж) $$MC=kAM.$$ Точки $$A,M,C$$ лежат на одной прямой, причём

$$AM=\frac14 AC,\qquad MC=AC-AM=\frac34 AC.$$

Следовательно,