Упр.911 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Из вершины В треугольника ABC проведены высота ВН и биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла ОВН Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство n = km, если известно, что: а) векторы m и n противоположно направлены и |m| = 0,5см, |n| = 2см; б) векторы m и n сонаправлены и | m | = 12 см, | n | = 24 дм; в) векторы m и n противоположно направлены и | m | = 400 мм, | n | = 4 дм; г) векторы m и n сонаправлены и |m | = корень2 см, | n| = корень50 см.
Обозначим $$\angle BCA=\alpha,$$ $$\angle ABE=\angle EBC=\beta.$$ Тогда, так как точка $$E$$ лежит на описанной около треугольника окружности, центральный угол, опирающийся на дугу $$AB,$$ равен
$$\angle AOB=2\alpha.$$
Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABO$$, в котором $$OA=OB$$. Тогда
$$\angle ABO=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle AOB\right)=90^\circ-\frac{1}{2}\angle AOB=90^\circ-\alpha.$$
Теперь найдём углы $$\angle OBE$$ и $$\angle HBE.$$
Так как $$BE$$ — биссектриса угла $$B,$$ то
$$\angle ABE=\angle EBC=\beta.$$
Следовательно,
$$\angle OBE=\angle ABE-\angle ABO=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ,$$
а поскольку $$BH\perp AC,$$ то
$$\angle HBC=90^\circ-\alpha.$$
Тогда
$$\angle HBE=\angle EBC-\angle HBC=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$
Получаем, что
$$\angle OBE=\angle HBE,$$
значит, луч $$BE$$ является биссектрисой угла $$OBH$$.
Для уравнения $$\vec n=k\vec m$$ имеем $$|\vec n|=|k|\cdot|\vec m|.$$ Если векторы сонаправлены, то $$k>0,$$ если противоположно направлены, то $$k<0.$$
а) $$|\vec n|=2\text{ см},\ |\vec m|=0{,}5\text{ см}.$$ Тогда
$$2=|k|\cdot 0{,}5 \Rightarrow |k|=4.$$
Так как векторы противоположно направлены, то $$k=-4.$$
б) $$|\vec n|=24\text{ дм}=240\text{ см},\ |\vec m|=12\text{ см}.$$ Тогда
$$240=|k|\cdot 12 \Rightarrow |k|=20.$$
Так как векторы сонаправлены, то $$k=20.$$
в) $$|\vec n|=4\text{ дм}=400\text{ мм},\ |\vec m|=400\text{ мм}.$$ Тогда
$$400=|k|\cdot 400 \Rightarrow |k|=1.$$
Так как векторы противоположно направлены, то $$k=-1.$$
г) $$|\vec n|=\sqrt{50}\text{ см}=5\sqrt{2}\text{ см},\ |\vec m|=\sqrt{2}\text{ см}.$$ Тогда
$$5\sqrt{2}=|k|\cdot \sqrt{2} \Rightarrow |k|=5.$$
Так как векторы сонаправлены, то $$k=5.$$
Ответ
$$BE$$ — биссектриса угла $$OBH$$; а) $$k=-4$$; б) $$k=20$$; в) $$k=-1$$; г) $$k=5$$.
