Упр.910 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD2 = АВ x ВС — AD x DC. Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника ABC, а О — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2:1, считая от точки Н, т. е.HG/GO=2.

Подробный ответ

1) Построим описанную около треугольника $$ABC$$ окружность и продолжим луч $$BD$$ до пересечения с этой окружностью в точке $$K$$.

Рассмотрим треугольники $$ABK$$ и $$DBC$$. Так как $$BD$$ — биссектриса, то

$$\angle ABK=\angle DBC.$$

Кроме того, точки $$A, B, C, K$$ лежат на одной окружности, значит

$$\angle AKB=\angle ACB.$$

Но $$D \in AC$$, поэтому $$\angle ACB=\angle DCK$$, следовательно

$$\angle AKB=\angle DCK.$$

Значит, $$\triangle ABK \sim \triangle DBC$$ по двум углам. Отсюда

$$\frac{AB}{BD}=\frac{BK}{BC}.$$

Умножая на $$BD\cdot BC$$, получаем

$$AB\cdot BC=BD\cdot BK.$$

Так как $$K$$ лежит на продолжении $$BD$$, то

$$BK=BD+DK.$$

Тогда

$$AB\cdot BC=BD(BD+DK)=BD^2+BD\cdot DK,$$

откуда

$$BD^2=AB\cdot BC-BD\cdot DK.$$

По свойству пересекающихся хорд для точки $$D$$ внутри окружности имеем

$$BD\cdot DK=AD\cdot DC.$$

Следовательно,

$$BD^2=AB\cdot BC-AD\cdot DC.$$

2) Пусть $$A_1, B_1, C_1$$ — середины сторон $$BC, CA, AB$$ соответственно, $$H$$ — точка пересечения высот, $$G$$ — точка пересечения медиан.

Обозначим через $$O$$ центр описанной окружности. Тогда в векторной форме для треугольника выполняются соотношения

$$\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{AG},$$

$$\overrightarrow{A_1O}+\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{A_1G}.$$

По свойству точки пересечения медиан

$$\overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{A_1G}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HG}=-2\overrightarrow{A_1O}-2\overrightarrow{OG}.$$

Так как $$AH \perp BC$$ и $$A_1O \perp BC$$, то векторы $$\overrightarrow{AH}$$ и $$\overrightarrow{A_1O}$$ коллинеарны. Значит, существует число $$x$$ такое, что

$$\overrightarrow{A_1O}=x\overrightarrow{AH}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}=-(2x+1)\overrightarrow{AH}.$$

Аналогично, из коллинеарности $$\overrightarrow{BH}$$ и $$\overrightarrow{B_1O}$$ получаем

$$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}=-(2m+1)\overrightarrow{BH}$$

для некоторого числа $$m$$.

Поскольку треугольник неравносторонний, прямые $$AH$$ и $$BH$$ не коллинеарны. Следовательно, единственный вектор, коллинеарный и $$\overrightarrow{AH}$$, и $$\overrightarrow{BH}$$, — нулевой. Значит,

$$\overrightarrow{HG}+2\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{0}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{HG}=-2\overrightarrow{OG},$$

то есть точки $$H, G, O$$ лежат на одной прямой, и

$$HG=2\cdot GO.$$

Следовательно, точка $$G$$ делит отрезок $$HO$$ в отношении

$$HG:GO=2:1.$$