Упр.908 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC. Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ основания перпендикуляров, проведённых через вершины $$A,\;B,\;C$$ к биссектрисам соответствующих углов треугольника.

Так как прямая, перпендикулярная биссектрисе внутреннего угла, является биссектрисой внешнего угла, то:

$$AA_1$$ — биссектриса внешнего угла при $$A$$,

$$BB_1$$ — биссектриса внешнего угла при $$B$$,

$$CC_1$$ — биссектриса внешнего угла при $$C$$.

По свойству биссектрисы внешнего угла каждая её точка равноудалена от сторон угла. Поэтому:

$$A_1B_1 = A_1C_1,\qquad B_1A_1 = B_1C_1,\qquad C_1A_1 = C_1B_1.$$

Следовательно, точки $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ лежат соответственно на биссектрисах внешних углов треугольника, а значит, являются точками пересечения этих биссектрис. Но биссектрисы внешних углов треугольника пересекаются в вершинах треугольника, образованного прямыми, проведёнными через вершины перпендикулярно биссектрисам внутренних углов.

Итак, вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.