Упр.905 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через точку $$A$$ пересечения двух окружностей с центрами в точках $$O_1$$ и $$O_2$$ проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке $$B$$, а другую — в точке $$C$$. Докажите, что отрезок $$BC$$ будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой $$O_1O_2$$.
- Даны четырёхугольник $$ABCD$$ и точка $$O$$. Точки $$E$$, $$F$$, $$G$$ и $$H$$ симметричны точке $$O$$ относительно середин сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно. Что представляет собой четырёхугольник $$EFGH$$?
Пусть $$M,\ N,\ P,\ Q$$ — середины сторон $$AB,\ BC,\ CD,\ DA$$ соответственно. Тогда точки $$E,\ F,\ G,\ H$$ симметричны точке $$O$$ относительно точек $$M,\ N,\ P,\ Q$$, значит $$M$$, $$N$$, $$P$$, $$Q$$ — середины отрезков $$OE,\ OF,\ OG,\ OH$$.
Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$. По теореме о средней линии в треугольниках получаем:
$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac{1}{2}AC,$$
$$PQ \parallel AC,\qquad PQ=\frac{1}{2}AC,$$
следовательно, $$MN \parallel PQ$$ и $$MN=PQ$$. Аналогично
$$NP \parallel BD,\qquad NP=\frac{1}{2}BD,$$
$$MQ \parallel BD,\qquad MQ=\frac{1}{2}BD,$$
поэтому $$NP \parallel MQ$$ и $$NP=MQ$$. Значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.
Так как $$E$$ и $$O$$ симметричны относительно $$M$$, то $$M$$ — середина $$OE$$, а значит в треугольнике $$OEF$$ отрезок $$MN$$ соединяет середины двух сторон. Следовательно,
$$EF \parallel MN,\qquad EF=2MN.$$
Аналогично:
$$FG \parallel NP,\qquad FG=2NP,$$
$$GH \parallel PQ,\qquad GH=2PQ,$$
$$HE \parallel MQ,\qquad HE=2MQ.$$
Так как $$MN \parallel PQ$$ и $$NP \parallel MQ$$, то
$$EF \parallel GH,\qquad FG \parallel HE.$$
Следовательно, четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм.
Ответ: $$EFGH$$ — параллелограмм.
