Упр.905 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через точку А пересечения двух окружностей с центрами в точках О1 и O2 проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке В, а другую — в точке С. Докажите, что отрезок ВС будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой O1O2. Даны четырёхугольник ABCD и точка О. Точки Е, F, G и Н симметричны точке О относительно середин сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно. Что представляет собой четырёхугольник EFGH?

Подробный ответ

Обозначим середины сторон четырёхугольника $$ABCD$$ через $$M, N, P, Q$$ соответственно. Тогда точки $$E, F, G, H$$ симметричны точке $$O$$ относительно точек $$M, N, P, Q$$, значит $$M$$, $$N$$, $$P$$, $$Q$$ — середины отрезков $$OE, OF, OG, OH$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$. Пусть

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\vec a,\quad \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}=\vec b,\quad \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PD}=\vec c,\quad \overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{QA}=\vec d.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}=2\vec a,\quad \overrightarrow{BC}=2\vec b,\quad \overrightarrow{CD}=2\vec c,\quad \overrightarrow{DA}=2\vec d.$$

С другой стороны, для замкнутого четырёхугольника

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec 0,$$

откуда

$$\vec a+\vec b+\vec c+\vec d=\vec 0.$$

Теперь найдём векторы сторон четырёхугольника $$MNPQ$$:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=\vec a+\vec b,$$

$$\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{DP}=-\vec d+\vec c=\vec c-\vec d.$$

Из равенства $$\vec a+\vec b+\vec c+\vec d=\vec 0$$ получаем

$$\vec a+\vec b=-(\vec c+\vec d),$$

следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{QP}.$$

Значит, $$MN \parallel QP$$ и $$MN=QP$$. Аналогично доказывается, что $$NP \parallel MQ$$ и $$NP=MQ$$. Следовательно, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Так как $$E$$ симметрична $$O$$ относительно $$M$$, то $$M$$ — середина $$OE$$. Аналогично $$N, P, Q$$ — середины отрезков $$OF, OG, OH$$.

В треугольнике $$OEF$$ отрезок $$MN$$ соединяет середины сторон $$OE$$ и $$OF$$, значит $$MN$$ — средняя линия треугольника. Поэтому

$$EF=2MN,\quad EF \parallel MN.$$

Аналогично:

$$FG=2NP,\quad FG \parallel NP,$$

$$GH=2PQ,\quad GH \parallel PQ,$$

$$HE=2QM,\quad HE \parallel QM.$$

Так как в четырёхугольнике $$MNPQ$$ противоположные стороны параллельны, то и в четырёхугольнике $$EFGH$$ противоположные стороны попарно параллельны:

$$EF \parallel GH,\quad FG \parallel HE.$$

Следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.