Упр.903 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения прямых через $$M$$, а концы одной хорды — через $$A$$ и $$B$$, другой — через $$C$$ и $$D$$. Пусть $$AB=CD$$.

Рассмотрим два случая.

Точка $$M$$ лежит внутри окружности.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ACM$$ и $$\triangle DBM$$.
Так как $$AB=CD$$, то равны соответствующие дуги, а значит, равны вписанные углы, опирающиеся на эти дуги:
$$\angle CAB=\angle CDB.$$
Но $$M$$ лежит на прямых $$AB$$ и $$CD$$, поэтому
$$\angle CAM=\angle CAB,\qquad \angle BDM=\angle CDB.$$
Кроме того, углы $$\angle AMC$$ и $$\angle DMB$$ — вертикальные, значит, равны.
Следовательно, $$\triangle ACM \sim \triangle DBM$$. Из подобия получаем
$$\frac{MA}{MD}=\frac{AC}{DB}.$$
Но $$AC=DB$$, так как они соответствуют равным хордам, значит
$$MA=MD.$$
Аналогично из подобия треугольников $$\triangle BCM$$ и $$\triangle ADM$$ получаем
$$MC=MB.$$
Точка $$M$$ лежит вне окружности.
Рассмотрим треугольники $$\triangle MAD$$ и $$\triangle MBC$$.
Так как $$AB=CD$$, то равны дуги, на которые они опираются, следовательно, равны вписанные углы:
$$\angle BAD=\angle BDC,\qquad \angle ABD=\angle ACD.$$
Поскольку точки $$M$$ лежит на прямых $$AB$$ и $$CD$$, имеем
$$\angle MAD=\angle BAD,\qquad \angle MBC=\angle BDC.$$
Значит, $$\angle MAD=\angle MBC$$.
Аналогично
$$\angle MDA=\angle ACD,\qquad \angle MCB=\angle ABD,$$
откуда $$\angle MDA=\angle MCB$$.
Следовательно, $$\triangle MAD \sim \triangle MBC$$, и потому
$$\frac{MA}{MB}=\frac{AD}{BC}.$$
Но $$AD=BC$$, так как они соответствуют равным хордам, значит
$$MA=MB.$$
Аналогично получаем
$$MC=MD.$$