Упр.902 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$ (рис. 271). Докажите, что $$AM=AN$$.
2. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?

Пусть $$\omega$$ — окружность с центром $$O$$. Так как $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$, то

$$\overset{\frown}{AB_1}=\overset{\frown}{B_1B}=\frac12\overset{\frown}{AB},$$
$$\overset{\frown}{AC_1}=\overset{\frown}{C_1C}=\frac12\overset{\frown}{AC}.$$

Отсюда равны соответствующие вписанные углы:

$$\angle B_1AB=\angle B_1BA=\angle B_1C_1A,$$
$$\angle C_1AC=\angle C_1CA=\angle C_1B_1A.$$

Пусть $$M=AB\cap B_1C_1$$, $$N=AC\cap B_1C_1$$. Тогда

$$\angle AB_1M=\angle C_1AN,$$
$$\angle B_1AM=\angle AC_1N.$$

Следовательно,

$$\angle AMB=180^\circ-\angle AB_1M,$$
$$\angle ANC_1=180^\circ-\angle C_1AN,$$

то есть

$$\angle AMN=\angle ANM.$$

Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный, поэтому

$$AM=AN.$$