Упр.902 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки В1 и С1 — середины дуг АВ и АС (рис. 271). Докажите, что AM = AN. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?

Подробный ответ

Пусть $$H_1,\ H_2,\ H_3$$ — основания высот треугольника $$ABC$$. Построим треугольник по этим точкам.

Так как основание высоты лежит на окружности девяти точек, то точки $$H_1,\ H_2,\ H_3$$ лежат на одной окружности, а центр этой окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $$H_1H_2,\ H_2H_3,\ H_3H_1$$. Обозначим этот центр через $$O$$.

Построим окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OH_1$$. Затем проведём касательные к этой окружности в точках $$H_1,\ H_2,\ H_3$$.

Из свойства касательной: касательная к окружности в точке перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Значит, прямая, касательная в $$H_1$$, будет перпендикулярна $$OH_1$$, то есть является возможной стороной треугольника, на которой лежит основание высоты $$H_1$$. Аналогично строятся две другие стороны.

Точки пересечения касательных попарно дают вершины треугольника $$ABC$$.

Возможны два взаимно симметричных расположения треугольника относительно окружности, поэтому задача имеет два решения.