Упр.900 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А1, а другую — в точках ВиB1. Докажите, что АА1|| ВВ1. Постройте треугольник: а) по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой к данной стороне; б) по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и периметру.

Обозначим через $$\ell$$ общую касательную к окружностям в точке $$M$$. Тогда для секущей $$AA_1$$ по теореме о вписанном угле и угле между касательной и хордой имеем:

$$\angle A_1M\ell=\frac12 \overset{\frown}{A_1M}, \qquad \angle AM\ell=\frac12 \overset{\frown}{AM}.$$

Аналогично для секущей $$BB_1$$:

$$\angle B_1M\ell=\frac12 \overset{\frown}{B_1M}, \qquad \angle BM\ell=\frac12 \overset{\frown}{BM}.$$

Так как окружности имеют единственную общую точку $$M$$, то соответствующие дуги, стягиваемые секущими, равны попарно, следовательно,

$$\overset{\frown}{A_1M}=\overset{\frown}{B_1M}, \qquad \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}.$$

Значит,

$$\angle A_1M\ell=\angle B_1M\ell,\qquad \angle AM\ell=\angle BM\ell.$$

Отсюда получаем равенство углов, образованных секущими с общей касательной, а значит,

$$AA_1 \parallel BB_1.$$

Построение треугольника а) по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой к данной стороне:

1. Построим данную сторону $$AB$$.
2. В точках $$A$$ и $$B$$ построим прямые, перпендикулярные $$AB$$.
3. На одной из этих перпендикулярных прямых отложим отрезок, равный высоте $$h$$.
4. Через полученную точку проведём прямую, параллельную $$AB$$.
5. На этой прямой построим лучи, образующие с $$AB$$ данный противолежащий угол.
6. Точка пересечения луча с параллельной прямой даст вершину треугольника.

Полученный треугольник удовлетворяет всем данным условиям.

Построение треугольника б) по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и периметру:

1. Построим данный угол.
2. Внутри угла проведём прямую, параллельную одной из его сторон, на расстоянии, равном высоте $$h$$.
3. Пусть вершина искомого треугольника лежит на биссектрисе угла; тогда стороны треугольника пересекут построенную параллельную прямую в точках, определяющих основание.
4. Используя условие периметра, отложим на сторонах угла от вершины отрезки так, чтобы сумма двух боковых сторон и основания была равна данному периметру.
5. Соединим найденные точки с вершиной угла.

Таким образом строится искомый треугольник.

Ответ

$$AA_1 \parallel BB_1.$$