Упр.899 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
- Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.
Пусть $$O$$ — центр окружности, а $$M$$ — данная точка внутри неё. Проведём через $$M$$ прямую, перпендикулярную радиусу $$OM$$, и обозначим точки её пересечения с окружностью через $$A$$ и $$B$$.
Докажем, что хорда $$AB$$ — наименьшая из всех хорд, проходящих через точку $$M$$.
Пусть произвольная хорда $$CD$$ проходит через $$M$$. Обозначим через $$\varphi$$ угол между хордой $$CD$$ и радиусом $$OM$$. Тогда расстояние от центра окружности до хорды $$CD$$ равно $$OM\cos\varphi$$, а длина хорды выражается формулой
$$CD=2\sqrt{R^2-OM^2\cos^2\varphi},$$
где $$R$$ — радиус окружности.
Так как $$0\le \cos^2\varphi\le 1$$, то
$$R^2-OM^2\cos^2\varphi \ge R^2-OM^2,$$
следовательно,
$$CD \ge 2\sqrt{R^2-OM^2}.$$
Но для хорды $$AB$$, перпендикулярной $$OM$$, имеем $$\varphi=90^\circ$$, значит
$$AB=2\sqrt{R^2-OM^2}.$$
Итак, $$CD\ge AB$$ для любой хорды $$CD$$, проходящей через точку $$M$$. Значит, хорда $$AB$$ является наименьшей.
Ответ: искомая хорда — перпендикуляр к $$OM$$, проведённый через точку $$M$$; его пересечения с окружностью обозначены $$A$$ и $$B$$.
