Упр.897 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
2. Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

Пусть точка пересечения биссектрис треугольника $$ABC$$ — это точка $$O$$. Обозначим точки пересечения биссектрисы $$AO$$ со стороной $$BC$$ через $$A_1$$, биссектрисы $$BO$$ со стороной $$AC$$ через $$B_1$$, а биссектрисы $$CO$$ со стороной $$AB$$ через $$C_1$$.

Тогда по теореме о биссектрисе в треугольниках $$ABC$$, $$BCA$$ и $$CAB$$ получаем:

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{AC}{BC}, \qquad \frac{AB_1}{CB_1}=\frac{AB}{BC}.$$

Теперь применим теорему Ван-Обеля к треугольнику $$ABC$$ и его биссектрисам. Она даёт:

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AC_1}{BC_1}+\frac{AB_1}{CB_1}.$$

Подставим найденные отношения:

$$\frac{AO}{OA_1} = \frac{AC}{BC}+\frac{AB}{BC} = \frac{AB+AC}{BC}.$$

Следовательно, каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.