Упр.897 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
AA_1-бисс.угол A;
BB_1-бисс.угол B;
CC_1-бисс.угол C;
Доказать:
AO/(OA_1 )=(AB+AC)/BC;
Решение:
1) Рассмотрим треугольник ABC:
(AC_1)/(BC_1)=AC/BC, (AB_1)/(B_1 C)=AB/BC;
2) По теореме Ван-Обеля:
AO/(OA_1)=(AC_1)/(BC_1)+(AB_1)/(CB_1)=(AC+AB)/BC;
Что и требовалось доказать. Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения биссектрис треугольника $$ABC$$ через $$O$$. Тогда по теореме о биссектрисе в треугольнике имеем:

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{AC}{BC}, \qquad \frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC}.$$

Теперь применим теорему Ван-Обеля к треугольнику $$ABC$$ и его биссектрисам:

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AC_1}{BC_1}+\frac{AB_1}{CB_1}.$$

Подставим найденные отношения:

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{AC}{BC}+\frac{AB}{BC}=\frac{AB+AC}{BC}.$$

Следовательно, каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.