Упр.894 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Пусть точки $$C_1$$, $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ или их продолжениях. Докажите, что если $$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$$, то прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке (теорема, обратная теореме Чевы).
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что в любом треугольнике радиус $$R$$ описанной окружности, радиус $$r$$ вписанной окружности и расстояние $$d$$ между центрами этих окружностей связаны равенством $$d^2=R^2-2Rr$$ (формула Эйлера).
Обозначим через $$M$$ центр вписанной окружности, а через $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Пусть $$d=OM$$, $$R$$ — радиус описанной окружности, $$r$$ — радиус вписанной окружности.
Проведём через точку $$M$$ диаметр $$PQ$$ описанной окружности. Тогда по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд для точки $$M$$ получаем:
$$PM\cdot MQ=AM\cdot MA_1.$$
Так как $$PM=R+d$$, $$MQ=R-d$$, то
$$(R+d)(R-d)=AM\cdot MA_1.$$
Поскольку $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle BMA_1=\frac{\angle B+\angle A}{2}, \qquad \angle MBA_1=\frac{\angle B+\angle A}{2},$$
следовательно, $$\angle BMA_1=\angle MBA_1$$, и треугольник $$MAB_1$$ равнобедренный. Отсюда
$$AM=MA_1.$$
Теперь проведём диаметр $$A_1A_2$$ описанной окружности; точка $$K$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$. Тогда треугольники $$A_1A_2B$$ и $$AMK$$ прямоугольные, так как опираются на диаметры.
Кроме того,
$$\angle A_1A_2B=\angle MAK=\frac12\angle B,$$
поэтому $$\triangle A_1A_2B \sim \triangle AMK$$. Из подобия получаем
$$\frac{MK}{BA_1}=\frac{AM}{A_1A_2}.$$
Так как $$A_1A_2=2R$$ и $$MK=r$$, то
$$r\cdot BA_1=AM\cdot 2R.$$
С другой стороны, из равенства $$AM=MA_1$$ и предыдущего соотношения следует
$$AM\cdot MA_1=2Rr.$$
Значит,
$$(R+d)(R-d)=2Rr.$$
Раскрывая скобки, получаем
$$R^2-d^2=2Rr,$$
откуда
$$d^2=R^2-2Rr.$$
Ответ
$$d^2=R^2-2Rr.$$
