Упр.891 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 891. Докажите теорему Менелая (задача 890) для случая, когда точки C_1, A_1 и B_1 лежат на продолжениях сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС. В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = ВС + AD.

Подробный ответ

Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$E$$, причём $$E \in CD$$. Проведём через точку $$E$$ прямую $$MK \parallel AB$$, где $$M \in AD$$, $$K \in BC$$.

Тогда $$\angle MEA = \angle A$$ как накрест лежащие, а значит, в треугольнике $$AME$$ углы при основании равны, поэтому $$ME = MA$$.

Аналогично $$\angle KEB = \angle B$$, следовательно, треугольник $$BKE$$ равнобедренный и $$KE = KB$$.

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный, то

$$\angle A + \angle C = 180^\circ.$$

Из равенства $$\angle MEA = \angle A$$ получаем

$$\angle AME = 180^\circ — 2\cdot \frac{1}{2}\angle A = 180^\circ — \angle A = \angle C.$$

Кроме того, поскольку $$MK \parallel AB$$, то

$$\angle MDE = \angle KCE,$$

а также $$\angle DME = \angle KEC$$, значит, треугольники $$DME$$ и $$KCE$$ подобны.

Из подобия получаем

$$\frac{DE}{CE}=\frac{DM}{KC}=\frac{ME}{KE}.$$

Но из равнобедренности треугольников $$AME$$ и $$BKE$$ имеем $$ME=MA$$ и $$KE=KB$$, поэтому