Упр.889 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.
- Произвольная точка $$X$$ окружности, описанной около равностороннего треугольника $$ABC$$, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков $$AX$$, $$BX$$ и $$CX$$ равен сумме двух других отрезков.
Пусть $$\triangle ABC$$ — равносторонний, а точка $$X$$ лежит на окружности, описанной около него. Докажем, что один из отрезков $$AX, BX, CX$$ равен сумме двух других.
Отложим на отрезке $$XC$$ точку $$D$$ так, что $$XD=XA$$. Тогда $$\triangle AXD$$ равнобедренный.
Так как $$\angle AXD=\angle ABC=60^\circ$$, то в равнобедренном треугольнике $$AXD$$ все углы равны $$60^\circ$$. Следовательно, $$\triangle AXD$$ — равносторонний, и потому
$$AD=AX,$$
а также $$\angle DAX=60^\circ$$.
Теперь рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$AXB$$.
Имеем:
- $$AC=AB$$, так как $$\triangle ABC$$ равносторонний;
- $$AD=AX$$;
- $$\angle CAD=\angle BAX=60^\circ$$.
Значит, $$\triangle ADC \cong \triangle AXB$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$DC=XB.$$
Но $$XC=XD+DC$$, поэтому
$$XC=XA+XB.$$
Таким образом, один из отрезков равен сумме двух других, что и требовалось доказать.
