Упр.889 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков. Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен сумме двух других отрезков.
Обозначим через $$D$$ точку на отрезке $$XC$$ так, что $$XD=XA$$.
Тогда треугольник $$AXD$$ равнобедренный, поэтому $$\angle XAD=\angle ADX$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$\angle ABC=60^\circ$$. Угол $$\angle AXD$$ опирается на дугу $$AD$$ окружности, а точки $$A, B, C, X$$ лежат на одной окружности, значит соответствующие углы равны и получаем $$\angle AXD=60^\circ$$. Следовательно, в треугольнике $$AXD$$ все углы равны $$60^\circ$$, то есть он равносторонний. Отсюда
$$AD=AX.$$
Рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$AXB$$.
Имеем:
- $$AC=AB$$, так как $$\triangle ABC$$ равносторонний;
- $$AD=AX$$;
- $$\angle CAD=\angle BAX$$, поскольку оба угла равны $$60^\circ$$.
Значит, $$\triangle ADC \cong \triangle AXB$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$DC=XB.$$
Но $$D$$ лежит на отрезке $$XC$$, поэтому
$$XC=XD+DC.$$
Подставляя найденные равенства, получаем
$$XC=XA+XB.$$
Следовательно, один из отрезков $$AX$$, $$BX$$ и $$CX$$ равен сумме двух других: $$CX=XA+XB$$.
Ответ
$$XC=XA+XB$$.
