Упр.886 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник $$ABC$$, если даны угол $$A$$, угол $$C$$ и отрезок, равный сумме стороны $$AC$$ и высоты $$BH$$.
2. Пусть $$H$$ — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника $$ABC$$, а $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ — точки, симметричные точке $$H$$ относительно прямых $$BC$$, $$CA$$, $$AB$$. Докажите, что точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ лежат на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Пусть $$H$$ — точка пересечения высот треугольника $$ABC$$, а точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ симметричны точке $$H$$ относительно прямых $$BC$$, $$CA$$, $$AB$$ соответственно. Докажем, что все три точки лежат на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

Доказательство

Докажем сначала, что точка $$A’$$ лежит на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\triangle ABC$$ остроугольный.

   Так как $$A’$$ — отражение точки $$H$$ относительно прямой $$BC$$, то прямая $$BC$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$HA’$$. Значит, $$BH=BA’$$ и $$CH=CA’$$.

   Из того, что $$BH \perp AC$$, получаем

   $$\angle CBH=90^\circ-\angle C.$$

   Тогда

   $$\angle ABA’=\angle ABC+\angle CBA’=\angle B+\left(90^\circ-\angle C\right).$$

   Аналогично

   $$\angle ACA’=\angle C+\left(90^\circ-\angle B\right).$$

   Складывая, получаем

   $$\angle ABA’+\angle ACA’=180^\circ.$$

   Следовательно, точки $$A, B, A’, C$$ лежат на одной окружности. Но через точки $$A, B, C$$ проходит единственная окружность, описанная около $$\triangle ABC$$, значит, $$A’$$ лежит на этой окружности.

2. Если $$\triangle ABC$$ прямоугольный.

   Пусть, например, $$\angle B=90^\circ$$. Тогда ортоцентр $$H$$ совпадает с вершиной $$B$$. Поэтому отражение точки $$H$$ относительно прямых $$AB$$ и $$BC$$ снова даёт точку $$B$$, то есть $$B’=C’=B$$.

   Остаётся точка $$A’$$. Так как $$AB \perp BC$$, то четырехугольник $$ABCA’$$ является прямоугольным в соответствующем смысле, и точки $$A, B, C, A’$$ лежат на одной окружности. Следовательно, $$A’$$ принадлежит окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

3. Если $$\triangle ABC$$ тупоугольный.

   Рассуждение полностью аналогично остроугольному случаю: из симметрии относительно сторон и свойств высот получаем

   $$\angle AA’B+\angle AC’B=180^\circ,$$

   а значит, точки $$A’$$, $$B’$$, $$C’$$ лежат на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.

Итак, точки $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ лежат на окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Ответ

Точки $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ лежат на окружности, описанной около $$\triangle ABC$$.