Упр.885 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
- Задание учебника 2023 года. Через каждую вершину треугольника $$ABC$$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.
Пусть $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ — биссектрисы внутренних углов треугольника $$ABC$$. Через вершины $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ проведены прямые, перпендикулярные к этим биссектрисам, и они пересекаются в точках $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$ соответственно.
Докажем, что эти точки лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.
Так как прямая, перпендикулярная биссектрисе внутреннего угла, является биссектрисой внешнего угла при той же вершине, то:
- $$A_2B_2$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$;
- $$A_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$B$$;
- $$B_2C_2$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$.
Теперь рассмотрим точку $$A_2$$. Она лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $$C$$, значит, равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых $$CA$$ и $$CB$$. Следовательно, $$A_2$$ равноудалена от сторон угла $$C$$, а значит, лежит и на биссектрисе внутреннего угла при вершине $$C$$.
Аналогично получаем:
- $$B_2$$ лежит на прямой, содержащей биссектрису угла при вершине $$A$$;
- $$C_2$$ лежит на прямой, содержащей биссектрису угла при вершине $$B$$.
Следовательно, вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.
Ответ
Вершины построенного треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника $$ABC$$.
