Упр.883 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы AD/DB=AC/CB. Всегда ли задача имеет решение? Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра О отрезок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой АВ. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.

Подробный ответ

Обозначим $$AC=x,$$ $$CB=y.$$ Тогда по условию нужно построить точку $$D$$ на прямой $$AB$$, не лежащую на отрезке $$AB,$$ такую, чтобы

$$\frac{AD}{DB}=\frac{x}{y}.$$

Построим решение с помощью подобия.

1) Проведём через точку $$A$$ прямую, перпендикулярную $$AB$$.

2) На этой прямой отложим отрезок $$AC_1=AC.$$

3) Построим окружность с центром $$C$$ и радиусом $$AC_1$$. Пусть она пересечёт перпендикуляр в точке $$C_1$$.

4) Построим окружность с центром $$B$$ и радиусом $$CB$$. Пусть она пересечёт ту же прямую в точке $$B_1$$.

5) Через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную $$BB_1.$$ Она пересечёт прямую $$AB$$ в точке $$D.$$

Тогда треугольники $$AC_1D$$ и $$BB_1D$$ подобны, поэтому

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC_1}{B_1B}=\frac{AC}{CB}.$$

Значит, точка $$D$$ построена верно.

Теперь выясним, всегда ли задача имеет решение.

Если $$AC<CB,$$ то построение возможно: точка $$D$$ получается слева от $$A$$.

Если $$AC=CB,$$ то

$$\frac{AC}{CB}=1,$$

и тогда нужно, чтобы $$AD=DB.$$ Но на прямой $$AB$$ такая точка — середина отрезка $$AB$$, а она лежит на самом отрезке, что противоречит условию. Следовательно, в этом случае решения нет.

Если $$AC>CB,$$ то аналогично решение существует, но точка $$D$$ будет лежать справа от $$B$$.

Итак, задача не всегда имеет решение: оно отсутствует только при $$AC=CB.$$