Упр.883 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$. Постройте точку $$D$$ прямой $$AB$$, не лежащую на отрезке $$AB$$, так, чтобы $$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}$$. Всегда ли задача имеет решение?
- Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности с центром $$O$$. На каждом радиусе $$OM$$ окружности отложен от центра $$O$$ отрезок, равный расстоянию от конца $$M$$ этого радиуса до прямой $$AB$$. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.
Пусть точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$. Обозначим $$AC=x$$, $$CB=y$$. Тогда нужно построить на прямой $$AB$$ точку $$D$$, не лежащую на отрезке $$AB$$, такую, чтобы
$$\frac{AD}{DB}=\frac{x}{y}.$$
Построение удобно выполнить по теореме Фалеса.
- Проведём через точку $$A$$ произвольный луч, не совпадающий с прямой $$AB$$.
- На этом луче отложим отрезки $$AA_1=AC$$ и $$AA_2=CB$$.
- Соединим точки $$A_2$$ и $$B$$.
- Через точку $$A_1$$ проведём прямую, параллельную $$A_2B$$. Пусть она пересечёт прямую $$AB$$ в точке $$D$$.
Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
$$\frac{AD}{DB}=\frac{AA_1}{A_1A_2}=\frac{AC}{CB}.$$
Следовательно, точка $$D$$ построена верно.
Теперь выясним, всегда ли задача имеет решение.
Если $$AC\ne CB$$, то построение возможно: точка $$D$$ получается либо на продолжении отрезка $$AB$$ за точкой $$A$$, либо за точкой $$B$$ — в зависимости от того, какой из отрезков $$AC$$ и $$CB$$ больше.
Если же $$AC=CB$$, то требуется
$$\frac{AD}{DB}=1,$$
то есть $$AD=DB$$. На прямой $$AB$$ это возможно только для середины отрезка $$AB$$, а она лежит на отрезке $$AB$$, что противоречит условию $$D\notin [AB]$$. Значит, в этом случае решения нет.
Ответ: задача имеет решение при $$AC\ne CB$$; при $$AC=CB$$ решения нет.
