Упр.881 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и ВС соответственно в точках М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является средним пропорциональным между MN и МР. Докажите, что для всех хорд АВ данной окружности величина AB2/AD, где AD — расстояние от точки А до касательной в точке В, имеет одно и то же значение.

1) Обозначим $$AB=CD=a,$$ $$AD=BC=b.$$

Рассмотрим треугольники $$BAM$$ и $$DNM.$$

Так как $$AB \parallel CD,$$ а точки $$M \in BD,$$ $$N \in CD,$$ то

$$\angle BAM=\angle DNM,$$ $$\angle BMA=\angle DMN.$$

Следовательно, $$\triangle BAM \sim \triangle DNM.$$ Тогда

$$\frac{AM}{MN}=\frac{AB}{ND}.$$

Так как $$ND=NC+CD=NC+a,$$ получаем

$$\frac{AM}{MN}=\frac{a}{a+NC}.$$

Отсюда

$$\frac{MN}{AM}=1+\frac{NC}{a}.$$

2) Рассмотрим треугольники $$BMP$$ и $$DMA.$$

Они подобны по двум углам, поэтому

$$\frac{BP}{AD}=\frac{MP}{AM}.$$

Так как $$BP=BC-PC=b-PC,$$ то

$$MP=\frac{b-PC}{b}\,AM=\left(1-\frac{PC}{b}\right)AM.$$

3) Так как $$PC \parallel AD,$$ то по теореме Фалеса

$$\frac{AP}{NP}=\frac{CD}{NC}=\frac{a}{NC},$$

откуда

$$\frac{NC}{a}=\frac{NP}{AP}.$$

Кроме того, из подобия соответствующих треугольников получаем

$$\frac{PC}{AD}=\frac{NP}{AN}.$$

Тогда

$$MP=\left(1-\frac{NP}{AN}\right)AM=\frac{AN-NP}{AN}\,AM=\frac{AP}{AN}\,AM.$$

4) Подставим найденные выражения:

$$\frac{MN}{AM}=1+\frac{NC}{a}=1+\frac{NP}{AP}=\frac{NP+AP}{AP}=\frac{AN}{AP}.$$

С другой стороны, из предыдущего пункта

$$\frac{AM}{MP}=\frac{AN}{AP}.$$

Значит,

$$\frac{MN}{AM}=\frac{AM}{MP},$$

откуда

$$AM^2=MN \cdot MP.$$

Следовательно, $$AM$$ является средним пропорциональным между $$MN$$ и $$MP.$$

Ответ

$$AM=\sqrt{MN \cdot MP}.$$

Ход решения

2) Пусть $$A$$ не лежит на диаметре окружности. Проведём диаметр $$BC.$$

Тогда по теореме о вписанном угле

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\angle ACB.$$

Кроме того, $$\angle ADB=90^\circ$$, так как $$BD$$ — касательная, а радиус $$OB \perp BD.$$

Также $$\angle BAC=90^\circ,$$ поскольку угол, опирающийся на диаметр $$BC,$$ прямой.

Следовательно, треугольники $$ADB$$ и $$BAC$$ подобны. Тогда

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BC},$$

откуда

$$\frac{AB^2}{AD}=BC.$$

Но $$BC=2R,$$ значит

$$\frac{AB^2}{AD}=2R.$$

Если же $$A$$ лежит на диаметре, то $$AD=AB=2R,$$ и снова

$$\frac{AB^2}{AD}=2R.$$

Итак, для всех хорд $$AB$$ данной окружности величина $$\frac{AB^2}{AD}$$ постоянна и равна диаметру окружности.

Ответ

$$\frac{AB^2}{AD}=2R.$$