Упр.880 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ прямая, проходящая через вершину $$A$$ и делящая медиану $$BM$$ в отношении $$1:2$$, считая от вершины, пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Найдите отношение площадей треугольников $$ABK$$ и $$ABC$$.
2. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Проведём через точку $$M$$ прямую $$ME$$, параллельную $$AK$$, где $$E \in BC$$.

Тогда в треугольнике $$AKC$$ отрезок $$ME$$ — средняя линия, так как $$M$$ — середина $$AC$$ и $$ME \parallel AK$$. Следовательно, $$E$$ — середина $$KC$$, то есть

$$KE=EC.$$

Рассмотрим треугольник $$BKC$$. Прямая $$AD$$ пересекает его стороны $$BK$$ и $$KC$$ в точках $$D$$ и $$M$$ соответственно, причём $$D \in BM$$, $$M \in BC$$. По условию

$$\frac{BD}{DM}= \frac{1}{2}.$$

По теореме Фалеса для треугольника $$BKC$$ получаем

$$\frac{BD}{DM}=\frac{BK}{KE}=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$BK:KE=1:2.$$

Так как $$KE=EC$$, то

$$BK:KE:EC=1:2:2,$$

откуда

$$BK=\frac{1}{5}BC.$$

Треугольники $$ABK$$ и $$ABC$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

$$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{5}.$$

Ответ: $$\frac{1}{5}$$