Упр.879 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника ABC. Докажите, что SEFG/SABC=3/4. Точки В1 и С1 — середины дуг АВ и АС (рис. 271). Докажите, что AM = AN.
Обозначим через $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ середины сторон $$BC,\;CA,\;AB$$ треугольника $$ABC$$ соответственно. Построим треугольник $$DAA_1$$ так, чтобы
$$AD \parallel BB_1,\qquad DA_1 \parallel AC.$$
Тогда четырёхугольник $$ADBB_1$$ — параллелограмм, значит
$$AD=BB_1,\qquad DB=AB_1.$$
Так как $$B_1$$ и $$A_1$$ — середины сторон, то
$$AB_1=\frac12 AC,\qquad AA_1=\frac12 BC.$$
Следовательно,
$$DB=AB_1=\frac12 AC,\qquad AD=BB_1=\frac12 AB.$$
Аналогично получаем, что четырёхугольник $$BDC_1C$$ — параллелограмм, поэтому
$$DC_1=BD=\frac12 AC.$$
Кроме того, четырёхугольник $$DCA_1C_1$$ — параллелограмм, откуда
$$DA_1=CC_1.$$
Но $$CC_1$$ — медиана, значит $$A_1$$ и $$C_1$$ соответствуют построению треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.
Теперь найдём площадь треугольника $$DAA_1$$. Он состоит из трёх треугольников:
$$S_{DAA_1}=S_{ABD}+S_{ABA_1}+S_{A_1BC_1}.$$
Так как $$D$$ лежит на прямой, параллельной $$BB_1$$, то треугольники $$ABD$$ и $$ABB_1$$ имеют равные высоты и основания, отличающиеся вдвое, поэтому
$$S_{ABD}=\frac12 S_{ABB_1}.$$
Аналогично
$$S_{ABA_1}=\frac12 S_{ABC},\qquad S_{A_1BC_1}=\frac14 S_{ABC}.$$
Тогда
$$ S_{DAA_1} =\frac12 S_{ABB_1}+\frac12\cdot\frac12 S_{ABC}+\frac14 S_{ABC} =\frac14 S_{ABC}+\frac14 S_{ABC}+\frac14 S_{ABC} =\frac34 S_{ABC}. $$
По построению треугольник $$DAA_1$$ подобен искомому треугольнику $$EFG$$, а их площади равны отношению площадей соответствующих треугольников. Значит,
$$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}}=\frac{S_{DAA_1}}{S_{ABC}}=\frac34.$$
Ответ
$$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}}=\frac34$$
Пусть теперь $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины дуг $$AB$$ и $$AC$$ окружности с центром $$O$$. Тогда
$$UAB_1=UB_1B=\frac12 UAB,\qquad UAC_1=UC_1C=\frac12 UAC.$$
Из равенства дуг следует равенство соответствующих хорд и углов:
$$\angle B_1AB=\angle B_1BA=\angle B_1C_1A,$$
$$\angle C_1AC=\angle C_1CA=\angle C_1B_1A.$$
Пусть $$M=AB_1\cap C_1B_1$$, а $$N=AC_1\cap B_1C_1$$. Тогда
$$\angle AB_1M=\angle C_1AN,\qquad \angle B_1AM=\angle AC_1N,$$
следовательно,
$$\angle AMB=180^\circ-\angle AB_1M=\angle ANC_1,$$
и треугольники $$AMN$$ и $$ANM$$ равнобедренные. Отсюда
$$AM=AN,$$
что и требовалось доказать.
