Упр.878 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике ABC, сторона АС которого в два раза больше стороны ВС, проведены биссектриса СМ и биссектриса внешнего угла при вершине С, пересекающая прямую АВ в точке К. Докажите, что SBCM=1/2SACM=1/3SABC=1/2SCMK. Прямая АС — касательная к окружности с центром О1, а прямая BD — касательная к окружности с центром О2 (рис. 270). Докажите, что: а) AD || ВС; б) АВ2 = AD x ВС; в) BD2 : АС2 = AD : ВС.

Обозначим точки касания окружностей с прямой $$AC$$ через $$A$$ и $$B$$, а с прямой $$BD$$ — через $$D$$ и $$C$$. Тогда $$AC$$ и $$BD$$ — касательные к соответствующим окружностям.

Рассмотрим углы между хордой и касательной:

$$\angle CAB=\frac12 \overset{\frown}{AB}(O_1)=\angle ADB,$$

$$\angle DBA=\frac12 \overset{\frown}{AB}(O_2)=\angle BCA.$$

Следовательно, $$\triangle DAB \sim \triangle ABC$$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\angle DAB=\angle ABC,$$

значит, при секущей $$AB$$ соответствующие углы равны, поэтому $$AD \parallel BC$$.

Далее из подобия треугольников $$DAB$$ и $$ABC$$ имеем

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{AB}.$$

Отсюда

$$AB^2=AD\cdot BC.$$

Теперь запишем отношения соответствующих сторон:

$$\frac{BD}{AC}=\frac{AD}{AB}, \qquad \frac{BD}{AC}=\frac{AB}{BC}.$$

Перемножая эти равенства, получаем

$$\frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AD}{BC}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AD \parallel BC,$$ $$AB^2=AD\cdot BC,$$ $$\frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AD}{BC}.$$