Упр.878 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике ABC, сторона AC которого в два раза больше стороны BC, проведены биссектриса CM и биссектриса внешнего угла при вершине C, пересекающая прямую AB в точке K. Докажите, что $$S_{BCM}=\frac{1}{2}S_{ACM}=\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{CMK}$$.
- Прямая AC — касательная к окружности с центром O1, а прямая BD — касательная к окружности с центром O2 (рис. 270). Докажите, что:
а) $$AD\parallel BC$$;
б) $$AB^2=AD\cdot BC$$;
в) $$\frac{BD^2}{AC^2}=\frac{AD}{BC}$$.
Пусть $$BC=a,$$ тогда $$AC=2a.$$ Обозначим через $$H$$ основание высоты из точки $$C$$ на прямую $$AB$$. Тогда для треугольников $$BCM,$$ $$ACM$$ и $$CMK$$ высота одна и та же, поэтому отношения их площадей равны отношениям соответствующих оснований.
По теореме о биссектрисе в треугольнике $$ABC$$ имеем
$$\frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{2a}{a}=2,$$
значит, $$AM=2BM$$ и
$$AB=AM+BM=3BM,$$
откуда
$$BM=\frac13 AB,\qquad AM=\frac23 AB.$$
Следовательно,
$$S_{BCM}:S_{ACM}=BM:AM=1:2,$$
то есть
$$S_{BCM}=\frac12 S_{ACM}.$$
Кроме того,
$$S_{ACM}:S_{ABC}=AM:AB=\frac23,$$
поэтому
$$S_{BCM}=\frac12 S_{ACM}=\frac13 S_{ABC}.$$
Теперь рассмотрим биссектрису внешнего угла при вершине $$C$$, пересекающую прямую $$AB$$ в точке $$K$$. По теореме о биссектрисе внешнего угла
$$\frac{BK}{AK}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac12.$$
Значит, $$AK=2BK$$, а потому
$$AB=AK-BK=BK,$$
то есть $$BK=AB.$$ Тогда
$$KM=BK+BM=AB+\frac13 AB=\frac43 AB,$$
и
$$BM=\frac13 AB=\frac14 KM.$$
Так как треугольники $$BCM$$ и $$CMK$$ имеют общую высоту из точки $$C$$ к прямой $$AB$$, то
$$S_{BCM}:S_{CMK}=BM:MK=1:4,$$
следовательно,
$$S_{BCM}=\frac14 S_{CMK}.$$
Итак,
$$S_{BCM}=\frac12 S_{ACM}=\frac13 S_{ABC}=\frac14 S_{CMK}.$$
