Упр.877 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А1, а другую — в точках ВиB1. Докажите, что АА1|| ВВ1.

Подробный ответ

Рассмотрим две окружности, имеющие единственную общую точку $$M$$. Проведём через точку $$M$$ две секущие, пересекающие первую окружность в точках $$A$$ и $$A_1$$, а вторую — в точках $$B$$ и $$B_1$$.

Проведём общую касательную к окружностям в точке $$M$$. Обозначим её через $$t$$.

По теореме о угле между касательной и хордой имеем:

$$\angle A_1MD=\frac12 \overset{\frown}{A_1M}, \qquad \angle CMB=\frac12 \overset{\frown}{MB}.$$

Так как точки $$A, M, A_1$$ лежат на одной прямой, а точки $$B, M, B_1$$ — на другой, то соответствующие дуги, стягиваемые равными углами с касательной, равны. Следовательно,

$$\overset{\frown}{A_1M}=\overset{\frown}{MB}.$$

Тогда равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги:

$$\angle AAM=\angle BB_1M.$$

Поскольку $$AB$$ — секущая, то равенство накрест лежащих углов даёт

$$AA_1 \parallel BB_1.$$

Аналогично рассматривается и второй случай — внутреннее касание окружностей: из равенства углов между касательной и секущими снова получаем равенство соответствующих углов при прямых $$AA_1$$ и $$BB_1$$, откуда следует их параллельность.