Упр.876 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соединяют вершины треугольника $$ABC$$ с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.

Подробный ответ

Пусть $$M$$, $$N$$, $$K$$ — середины отрезков $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$ соответственно. Докажем, что точки $$M$$, $$N$$, $$K$$ не лежат на одной прямой.

Построим середины сторон треугольника $$ABC$$: точки $$D$$, $$E$$, $$F$$ так, что $$D$$ — середина $$AB$$, $$E$$ — середина $$BC$$, $$F$$ — середина $$AC$$. Тогда по теореме о средней линии треугольника

$$DE \parallel AC,\qquad EF \parallel AB,\qquad DF \parallel BC.$$

Рассмотрим точку $$M$$. Так как $$A_1 \in BC$$, то при перемещении точки $$A_1$$ по стороне $$BC$$ середина отрезка $$AA_1$$ перемещается по средней линии $$DF$$. Значит, $$M \in DF$$.

Аналогично, поскольку $$B_1 \in AC$$, точка $$N$$ лежит на средней линии $$DE$$, а так как $$C_1 \in AB$$, то точка $$K$$ лежит на средней линии $$EF$$.

Теперь предположим, что точки $$M$$, $$N$$, $$K$$ лежат на одной прямой. Тогда эта прямая пересечёт стороны треугольника $$ABC$$ в точках $$D$$, $$E$$, $$F$$, то есть точки $$D$$, $$E$$, $$F$$ тоже окажутся на одной прямой. Но это невозможно, так как через любые две точки проходит единственная прямая, а точки $$D$$, $$E$$, $$F$$ — середины сторон треугольника и образуют треугольник $$DEF$$.

Следовательно, наше предположение неверно, и точки $$M$$, $$N$$, $$K$$ не лежат на одной прямой.