Упр.875 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Из вершины $$A$$ треугольника $$ABC$$ проведены перпендикуляры $$AM$$ и $$AK$$ к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах $$B$$ и $$C$$. Докажите, что отрезок $$MK$$ равен половине периметра треугольника $$ABC$$.
- Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.
Обозначим точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ с прямой $$MK$$ через $$F$$ и $$G$$ соответственно, а точку пересечения прямых $$AB$$ и $$MK$$ — через $$D$$, прямых $$AC$$ и $$MK$$ — через $$E$$.
Тогда $$F\in AM$$, $$G\in AK$$, причём $$FM\perp AB$$ и $$KG\perp AC$$.
Рассмотрим треугольник $$FBA$$. Так как $$BF$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$B$$, а $$FM\perp AB$$, то $$FM$$ является высотой к стороне $$AB$$. Следовательно, треугольник $$FBA$$ равнобедренный, и потому
$$FB=AB,\qquad FM=MA.$$
Аналогично, в треугольнике $$AGC$$ биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$ и высота $$KG$$ дают равнобедренность треугольника $$AGC$$, откуда
$$CG=AC,\qquad KG=AK.$$
Теперь найдём длину отрезка $$FG$$. Так как точки $$F,B,C,G$$ лежат на одной прямой, то
$$FG=FB+BC+CG.$$
Подставляя найденные равенства, получаем
$$FG=AB+BC+AC.$$
Кроме того, из равенств $$FM=MA$$ и $$KG=AK$$ следует, что точки $$M$$ и $$K$$ делят отрезок $$FG$$ пополам по его концам, то есть $$MK$$ — средняя линия соответствующего четырёхугольника, а значит
$$MK=\frac{FG}{2}.$$
Тогда
$$MK=\frac{AB+BC+AC}{2}.$$
Итак, отрезок $$MK$$ равен половине периметра треугольника $$ABC$$.
Ответ
$$MK=\frac{AB+BC+AC}{2}.$$
