Упр.873 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм. Постройте треугольник ABC, если даны уголA, уголC и отрезок, равный сумме стороны АС и высоты ВН.

Обозначим середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ через $$M$$ и $$N$$ соответственно. Тогда $$AM=MB$$ и $$CN=ND$$.

Проведём через точки $$M$$ и $$N$$ прямую и рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$.

Если бы стороны $$AB$$ и $$CD$$ были параллельны, то отрезок, соединяющий середины боковых сторон, был бы средней линией трапеции, и тогда

$$MN=\frac{AD+BC}{2}.$$

По условию же

$$MN=\frac{AB+BC}{2}.$$

Следовательно, в случае $$AB \parallel CD$$ получаем равенство

$$\frac{AD+BC}{2}=\frac{AB+BC}{2},$$

откуда $$AD=AB$$. Значит, трапеция равнобедренная.

Если же $$AD \parallel BC$$, то аналогично

$$MN=\frac{AB+CD}{2}.$$

Сравнивая с условием $$MN=\frac{AB+BC}{2}$$, получаем $$CD=BC$$, то есть снова имеем трапецию.

Если же обе пары противоположных сторон параллельны, то четырёхугольник является параллелограммом.

Итак, при выполнении условия четырёхугольник $$ABCD$$ может быть только трапецией или параллелограммом.

Ответ

$$ABCD$$ — трапеция или параллелограмм.