Упр.870 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точка М не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, Р и Q, расположенные так, что А, В, С и D являются соответственно серединами отрезков MN, NP, PQ и QM. Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы AD/DB=AC/CB. Всегда ли задача имеет решение?

Подробный ответ

Пусть точка $$M$$ выбрана вне параллелограмма $$ABCD$$ и не лежит на прямых, содержащих его стороны. Построим точки:

$$N$$ — симметричную точке $$M$$ относительно точки $$A$$;
$$P$$ — симметричную точке $$N$$ относительно точки $$B$$;
$$Q$$ — симметричную точке $$P$$ относительно точки $$C$$.

Тогда точка $$A$$ является серединой отрезка $$MN$$, точка $$B$$ — серединой $$NP$$, а точка $$C$$ — серединой $$PQ$$.

Докажем, что $$D$$ — середина отрезка $$QM$$.

Проведём диагональ $$QN$$. Рассмотрим треугольник $$QPN$$. В нём $$C$$ — середина стороны $$QP$$, а так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$BC \parallel AD$$. Кроме того, по построению $$BC \parallel NQ$$. Следовательно, в треугольнике $$QMN$$ прямая $$AD$$ проходит через середину одной стороны и параллельна второй стороне, то есть является средней линией треугольника $$QMN$$.

Значит, $$D$$ — середина отрезка $$QM$$, то есть $$MD = DQ$$. Таким образом, точки $$A, B, C, D$$ являются соответственно серединами отрезков $$MN, NP, PQ, QM$$.

Ход решения

Пусть $$C \in [AB]$$. Нужно построить точку $$D \in (AB)$$, не лежащую на отрезке $$AB$$, такую, что

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}.$$

Построение:

Проведём прямую $$AB$$ и отметим на ней точку $$C$$.
В точке $$A$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$AB$$.
Построим окружность с центром $$C$$ и радиусом $$AC$$. В нижней полуплоскости отметим точку пересечения этой окружности с перпендикуляром к $$AB$$; обозначим её $$C_1$$.
Построим окружность с центром $$B$$ и радиусом $$CB$$. На том же перпендикуляре отметим точку пересечения этой окружности; обозначим её $$B_1$$.
Проведём прямую $$B_1B$$ и через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную $$B_1B$$. Точку её пересечения с прямой $$AB$$ обозначим через $$D$$.

Точка $$D$$ — искомая.

Действительно, из построения $$AC_1 = AC$$ и $$BC_1 \parallel BB_1$$, поэтому соответствующие отрезки на прямой $$AB$$ делятся пропорционально, и получается

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}.$$

Анализ показывает, что если $$AC < CB$$, то решение существует и точка $$D$$ лежит слева от $$A$$. Если же $$AC = CB$$, то

$$\frac{AC}{CB}=1,$$

и тогда требуется $$AD=DB$$, то есть $$D$$ должна быть серединой $$AB$$. Но по условию $$D \notin [AB]$$, поэтому в этом случае решения нет.

Следовательно, задача не всегда имеет решение.