Упр.869 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол ADP = угол PDC, угол.ADP = 2/3 угол PAD и AD = BD = CD. а) Найдите все углы четырёхугольника. б) Докажите, что АВ2 = ВР x BD. Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в п раз дальше, чем от другой (n = 2, 3, 4).
а) Обозначим $$\angle ADP=\alpha.$$ Тогда по условию $$\angle PDC=2\alpha,$$ а также $$\angle PAD=\frac{3}{2}\alpha.$$
Так как $$AD=BD=CD,$$ то точки $$A, B, C$$ лежат на окружности с центром в точке $$D$$ и радиусом $$AD.$$
Тогда вписанный угол, опирающийся на дугу $$AB,$$ равен
$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle ADB=\frac{\alpha}{2},$$
а вписанный угол, опирающийся на дугу $$BC,$$ равен
$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BDC=\alpha.$$
Теперь найдём углы четырёхугольника:
$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=\alpha+\frac{3}{2}\alpha=\frac{5}{2}\alpha,$$
$$\angle D=\angle ADP+\angle PDC=\alpha+2\alpha=3\alpha,$$
$$\angle C=\angle ACB+\angle BCD=\frac{\alpha}{2}+\frac{3}{2}\alpha=2\alpha,$$
$$\angle B=\angle A+\angle C=\frac{5}{2}\alpha+2\alpha=\frac{9}{2}\alpha.$$
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $$360^\circ$$, значит
$$\frac{5}{2}\alpha+\frac{9}{2}\alpha+2\alpha+3\alpha=360^\circ,$$
$$12\alpha=360^\circ,$$
$$\alpha=30^\circ.$$
Следовательно,
$$\angle A=\frac{5}{2}\cdot 30^\circ=75^\circ,$$
$$\angle B=\frac{9}{2}\cdot 30^\circ=135^\circ,$$
$$\angle C=2\cdot 30^\circ=60^\circ,$$
$$\angle D=3\cdot 30^\circ=90^\circ.$$
б) Рассмотрим треугольники $$ABP$$ и $$DBA.$$
У них общий угол $$\angle B,$$ а также
$$\angle BAP=\angle BDA=\alpha=30^\circ.$$
Значит, $$\triangle ABP \sim \triangle DBA$$ (по двум углам).
Из подобия получаем
$$\frac{AB}{BD}=\frac{BP}{AB},$$
откуда
$$AB^2=BP\cdot BD.$$
Ответ
$$\angle A=75^\circ,\ \angle B=135^\circ,\ \angle C=60^\circ,\ \angle D=90^\circ;$$
$$AB^2=BP\cdot BD.$$
