Упр.867 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике ABC из середины D основания АС проведён перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть М — середина отрезка DH. Докажите, что ВМ перпендикулярен АН. В треугольнике ABC прямая, проходящая через вершину А и делящая медиану ВМ в отношении 1 : 2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников АВК и ABC.

Подробный ответ

Проведём через точку $$M$$ прямую $$ME$$, параллельную $$AK$$, где $$E \in BC$$. Тогда в треугольнике $$AKC$$ отрезок $$ME$$ — средняя линия, так как $$M$$ — середина $$AC$$, а $$ME \parallel AK$$. Следовательно, $$E$$ — середина $$KC$$, то есть $$KE = EC$$.

Рассмотрим треугольник $$MBC$$. Прямая $$AK$$ пересекает его стороны $$MB$$ и $$BC$$ в точках $$D$$ и $$K$$ соответственно. По теореме Фалеса для параллельных прямых $$ME \parallel AK$$ получаем:

$$\frac{BD}{DM}=\frac{BK}{KE}.$$

По условию $$BD:DM=1:2$$, значит

$$\frac{BK}{KE}=\frac{1}{2}.$$

Так как $$KE=EC$$, то

$$BK:KE:EC=1:2:2.$$

Следовательно,

$$BK=\frac{1}{5}BC.$$

Треугольники $$ABK$$ и $$ABC$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

$$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{5}.$$