Упр.867 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ из середины $$D$$ основания $$AC$$ проведён перпендикуляр $$DH$$ к стороне $$BC$$. Пусть $$M$$ — середина отрезка $$DH$$. Докажите, что $$BM \perp AH$$.
Задание учебника 2023 года. В треугольнике $$ABC$$ прямая, проходящая через вершину $$A$$ и делящая медиану $$BM$$ в отношении $$1:2$$, считая от вершины, пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Найдите отношение площадей треугольников $$ABK$$ и $$ABC$$.

Подробный ответ

Проведём через точку $$M$$ прямую $$ME$$, параллельную $$AK$$, где $$E \in BC$$.

Тогда в треугольнике $$AKC$$ отрезок $$ME$$ — средняя линия, так как $$M$$ — середина $$AC$$ и $$ME \parallel AK$$. Значит, $$KE=EC.$$

Рассмотрим треугольник $$MBC$$. По условию $$D \in BM$$ и $$BD:DM=1:2,$$ то есть $$\frac{BD}{DM}=\frac12.$$

Прямая $$AK$$ пересекает стороны угла $$MBC$$ в точках $$K$$ и $$E$$, поэтому по теореме Фалеса

$$\frac{BD}{DM}=\frac{BK}{KE}=\frac12.$$

Следовательно, $$BK:KE:EC=1:2:2,$$ откуда $$BK=\frac15\,BC.$$

Треугольники $$ABK$$ и $$ABC$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

$$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{BK}{BC}=\frac15.$$

Ответ: $$\frac15$$