Упр.865 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике \(ABC\) угол \(A = $$\frac{180^\circ}{7}$$\) и угол \(B = $$\frac{360^\circ}{7}$$\). Докажите, что $$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}.$$
2. В треугольнике \(ABC\), сторона \(AC\) которого в два раза больше стороны \(BC\), проведены биссектриса \(CM\) и биссектриса внешнего угла при вершине \(C\), пересекающая прямую \(AB\) в точке \(K\). Докажите, что $$S_{BCM}=\frac{1}{2}S_{ACM}=\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{CMK}.$$

Пусть $$BC=a,$$ тогда $$AC=2a.$$

Проведём биссектрису $$CM$$ и биссектрису внешнего угла при вершине $$C,$$ пересекающую прямую $$AB$$ в точке $$K.$$

Рассмотрим треугольники $$ACM$$ и $$BCM.$$ По теореме о биссектрисе

$$\frac{AM}{BM}=\frac{AC}{BC}=\frac{2a}{a}=2,$$

значит, $$AM=2BM,$$ откуда

$$AB=AM+BM=3BM,$$

то есть

$$BM=\frac13AB.$$

Так как у треугольников $$ACM$$ и $$BCM$$ общая высота из точки $$C$$ к прямой $$AB,$$ то их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{BCM}}{S_{ACM}}=\frac{BM}{AM}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$S_{BCM}=\frac12S_{ACM}.$$

Кроме того,

$$S_{ABC}=S_{ACM}+S_{BCM}=S_{ACM}+\frac12S_{ACM}=\frac32S_{ACM},$$

откуда

$$S_{BCM}=\frac13S_{ABC}.$$

Теперь рассмотрим биссектрису внешнего угла при вершине $$C.$$ По теореме о биссектрисе внешнего угла

$$\frac{AK}{BK}=\frac{AC}{BC}=2,$$

значит, $$AK=2BK.$$

Так как точки $$A, M, B, K$$ лежат на одной прямой, то

$$KM=KB+BM.$$

Из $$AK=2BK$$ и $$AB=AK-BK$$ получаем $$AB=BK,$$ то есть $$BK=AB.$$ Тогда

$$KM=BK+BM=AB+\frac13AB=\frac43AB,$$

а значит,

$$BM=\frac14KM.$$

Поскольку треугольники $$BCM$$ и $$CKM$$ имеют общую высоту из точки $$C$$ к прямой $$AB,$$ их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{BCM}}{S_{CKM}}=\frac{BM}{KM}=\frac14.$$

Следовательно,

$$S_{BCM}=\frac14S_{CKM}.$$

Итак,

$$S_{BCM}=\frac12S_{ACM}=\frac13S_{ABC}=\frac14S_{CKM}.$$