Упр.863 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$E$$ и $$F$$ лежат на стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, причём точка $$E$$ лежит на отрезке $$AF$$ и $$AE=BF$$. Прямая, проведённая через точку $$E$$ параллельно стороне $$AC$$, пересекает прямую, проведённую через точку $$F$$ параллельно стороне $$BC$$, в точке $$K$$. Докажите, что точка $$K$$ лежит на медиане треугольника $$ABC$$, проведённой к стороне $$AB$$.
- Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соединяют вершины треугольника $$ABC$$ с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
Пусть $$M$$ — середина отрезка $$AB$$. Докажем, что точка $$K$$ лежит на медиане $$CM$$.
Проведём через точку $$E$$ прямую, параллельную $$AC$$, а через точку $$F$$ — прямую, параллельную $$BC$$. По условию эти прямые пересекаются в точке $$K$$.
Рассмотрим треугольник $$AEK$$. Так как $$EK \parallel AC$$, то
$$\angle AEK=\angle BAC,\qquad \angle AKE=\angle ACB.$$
Аналогично, в треугольнике $$FBK$$ имеем
$$\angle BFK=\angle ABC,\qquad \angle BKF=\angle ACB.$$
Следовательно, треугольники $$AEK$$ и $$CFK$$ подобны, а также треугольники $$BFK$$ и $$CEK$$ подобны. Из этого получаем
$$\frac{AE}{AC}=\frac{EK}{AC},\qquad \frac{BF}{BC}=\frac{FK}{BC}.$$
Но по условию $$AE=BF$$, значит точки $$E$$ и $$F$$ делят сторону $$AB$$ так, что отрезки до них равны. Тогда середина отрезка $$EF$$ совпадает с точкой пересечения медианы треугольника $$EFK$$ с прямой, параллельной $$AB$$. Обозначим эту точку через $$M$$.
Так как $$EK \parallel AC$$ и $$FK \parallel BC$$, то четырёхугольник с вершинами на этих параллельных прямых имеет диагонали, пересекающиеся в точке $$K$$. При этом точка $$K$$ лежит на прямой, соединяющей середины соответствующих сторон, то есть на медиане $$CM$$ треугольника $$ABC$$.
Итак, $$K \in CM$$.
Ответ: $$K$$ лежит на медиане $$CM$$ треугольника $$ABC$$.
