Упр.862 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами. Из вершины А треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МК равен половине периметра треугольника ABC.

Подробный ответ

Обозначим через $$F$$ и $$G$$ основания перпендикуляров $$AM$$ и $$AK$$ на биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ соответственно. Тогда $$FM \perp OB$$, $$KG \perp OC$$, а также $$AM \perp OB$$ и $$AK \perp OC$$.

Рассмотрим треугольник $$FBA$$. Так как $$OB$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$B$$, то точка $$F$$ лежит на этой биссектрисе, а значит, она равноудалена от сторон угла. Следовательно, $$FM=MA$$. Кроме того, $$\angle FMA=90^\circ$$, поэтому треугольник $$FBA$$ равнобедренный, и

$$FB=AB.$$

Аналогично, из того, что $$OC$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$, получаем для треугольника $$AGC$$:

$$KG=KA,\qquad CG=AC.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$BFGC$$. Так как точки $$F$$ и $$G$$ лежат на сторонах $$AB$$ и $$AC$$, то

$$FG=FB+BC+CG.$$

Подставляя найденные равенства, получаем

$$FG=AB+BC+AC.$$

С другой стороны, из равенств $$FM=MA$$ и $$KG=KA$$ следует, что точки $$M$$ и $$K$$ являются серединами отрезков $$FA$$ и $$AG$$. Значит, отрезок $$MK$$ — средняя линия треугольника $$FAG$$, поэтому

$$MK=\frac{1}{2}FG.$$

Тогда

$$MK=\frac{1}{2}(AB+BC+AC).$$

Следовательно, отрезок $$MK$$ равен половине периметра треугольника $$ABC$$.