Упр.860 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На рисунке 269 изображён правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что: a) треугольник AED и треугольник AFE; 6)DA/DF=DF/AF Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.

Подробный ответ

Обозначим стороны выпуклого четырёхугольника последовательно через $$AB,\ BC,\ CD,\ DA$$, а точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Тогда отрезок $$MN$$ соединяет середины двух противоположных сторон.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$AB \parallel CD$$. Тогда четырёхугольник имеет одну пару параллельных сторон, то есть является трапецией. Если при этом ещё и $$AD \parallel BC$$, то четырёхугольник — параллелограмм.

2. Если $$AB \not\parallel CD$$. Тогда стороны $$AB$$ и $$CD$$ не параллельны. По теореме о средней линии четырёхугольника отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, не может быть равен полусумме двух других сторон, если четырёхугольник не является трапецией или параллелограммом. Следовательно, из условия $$MN=\dfrac{AB+CD}{2}$$ следует, что одна из пар противоположных сторон параллельна.

Значит, четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция или параллелограмм.