Упр.859 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенство SOAB = SOAC = SOBC. Докажите, что справедливо равенство ОА2 + ОВ2 = 5ОС2. Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Подробный ответ

Обозначим стороны четырёхугольника $$ABCD$$ через $$AB,\ BC,\ CD,\ DA$$, а середины сторон $$AB,\ BC,\ CD,\ DA$$ — через $$M,\ N,\ P,\ Q$$ соответственно.

Докажем, что если

$$MP+NQ=\frac{AB+BC+CD+DA}{2},$$

то четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Стороны $$AB$$ и $$CD$$ не параллельны, и стороны $$BC$$ и $$DA$$ не параллельны.

Тогда по неравенству для отрезка, соединяющего середины сторон треугольника, имеем:

$$MP<\frac{AD+BC}{2}, \qquad NQ<\frac{AB+CD}{2}.$$

Складывая, получаем

$$MP+NQ<\frac{AD+BC+AB+CD}{2},$$

что противоречит условию.

2. Пусть $$AD \parallel BC$$, но $$AB \not\parallel CD$$.

Тогда

$$MP\le \frac{AD+BC}{2}, \qquad NQ<\frac{AB+CD}{2}.$$

Следовательно,

$$MP+NQ<\frac{AB+BC+CD+DA}{2},$$

и снова получаем противоречие с условием.

3. Пусть $$AD \parallel BC$$ и $$AB \parallel CD$$.

Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм. В этом случае середины противоположных сторон соединяются отрезками, равными половинам соответствующих пар параллельных сторон, поэтому

$$MP=\frac{AD+BC}{2}, \qquad NQ=\frac{AB+CD}{2}.$$

Значит,

$$MP+NQ=\frac{AB+BC+CD+DA}{2},$$

то есть равенство выполняется.

Итак, равенство возможно только тогда, когда обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.