Упр.853 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка $$A$$ лежит внутри угла, равного $$60^\circ$$. Расстояния от точки $$A$$ до сторон угла равны $$a$$ и $$b$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до вершины угла.
Из точки $$M$$ внутренней области угла $$AOB$$ проведены перпендикуляры $$MP$$ и $$MQ$$ к его сторонам $$OA$$ и $$OB$$. Из точек $$P$$ и $$Q$$ проведены перпендикуляры $$PR$$ и $$QS$$ соответственно к $$OB$$ и $$OA$$. Докажите, что $$RS\perp OM$$.

Подробный ответ

Обозначим расстояния от точки $$A$$ до сторон угла через $$AK=a$$ и $$AM=b$$, где $$K$$ и $$M$$ — основания перпендикуляров к сторонам угла. Тогда $$\angle KAM=60^\circ$$.

Пусть $$O$$ — вершина угла. Рассмотрим треугольник $$OKAM$$. Так как $$\angle OKA=90^\circ$$ и $$\angle OMA=90^\circ$$, то точки $$O, K, A, M$$ лежат на одной окружности. Следовательно, $$OA$$ — диаметр этой окружности.

Обозначим радиус окружности через $$R$$. Тогда $$OA=2R$$.

Найдём длину хорды $$KM$$ в треугольнике $$KAM$$ по теореме косинусов:

$$KM^2=a^2+b^2-2ab\cos 60^\circ$$
$$KM^2=a^2+b^2-ab$$

С другой стороны, в окружности с диаметром $$OA$$ хорда $$KM$$, стягивающая угол $$\angle KOM=60^\circ$$, равна

$$KM=2R\sin 60^\circ=R\sqrt{3}.$$

Тогда

$$KM^2=3R^2.$$

Приравнивая два выражения для $$KM^2$$, получаем:

$$3R^2=a^2+b^2-ab.$$

Отсюда

$$R=\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{3}}.$$

Так как $$OA=2R$$, то