Упр.852 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Середины $$K$$ и $$M$$ сторон $$AB$$ и $$DC$$ выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ соединены отрезками $$KD$$, $$KC$$, $$MA$$ и $$MB$$ соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам $$AD$$ и $$BC$$.
2. В треугольнике $$ABC$$ угол $$A=\frac{180^\circ}{7}$$ и угол $$B=\frac{360^\circ}{7}$$. Докажите, что $$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}$$.

Обозначим $$AB=c,\quad AC=b,\quad BC=a.$$

По условию

$$\angle A=\frac{180^\circ}{7},\qquad \angle B=\frac{360^\circ}{7}.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-\left(\frac{180^\circ}{7}+\frac{360^\circ}{7}\right)=\frac{720^\circ}{7}=4\angle A=2\angle B.$$

Проведём биссектрисы $$BD$$ и $$CE$$, пусть они пересекаются в точке $$M$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. В нём

$$\angle DAB=\angle DBA=\frac{180^\circ}{2},$$

значит, $$AD=BD.$$

Аналогично в треугольнике $$BEC$$

$$\angle EBC=\angle ECB=\frac{360^\circ}{7},$$

следовательно, $$EB=EC.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$BDC$$. У них

$$\angle C$$ — общий, а

$$\angle CAB=\angle CBD=\frac{180^\circ}{7}.$$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle BDC.$$

Отсюда

$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CD}.$$

Так как $$BD=AD$$, то

$$AD=AB\cdot \frac{BC}{AC},\qquad CD=\frac{BC^2}{AC}.$$

Следовательно,

$$AC=AD+CD=AB\cdot \frac{BC}{AC}+\frac{BC^2}{AC}=\frac{AB\cdot BC+BC^2}{AC}.$$

Умножая на $$AC$$, получаем

$$AC^2=AB\cdot BC+BC^2.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACE$$. Они тоже подобны, так как

$$\angle C$$ — общий, а

$$\angle CAB=\angle ACE=\frac{180^\circ}{7}.$$

Значит,

$$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{AE}.$$

Отсюда

$$AE=\frac{AC^2}{AB},\qquad EB=\frac{AC\cdot BC}{AB}.$$

Так как $$AB=AE+EB$$, то

$$AB=\frac{AC^2+AC\cdot BC}{AB},$$

и значит

$$AB^2=AC^2+AC\cdot BC.$$

Вычтем из этого равенства полученное ранее:

$$AB^2-AC^2=AC\cdot BC,$$

$$AC^2-BC^2=AB\cdot BC.$$

Сложим эти равенства:

$$AB^2-BC^2+AC^2-BC^2=AC\cdot BC+AB\cdot BC,$$

то есть

$$AB^2-BC^2=BC(AB+AC).$$

Тогда

$$BC=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{BC}=\frac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}.$$

Ответ: $$\frac{1}{BC}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AB}.$$