Упр.851 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна $$a$$.
Пусть $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, а отрезки делят стороны $$AB$$ и $$CD$$ на три равные части. Обозначим точки деления так, что $$BE=EF=FC$$ и $$AG=GH=HD$$. Нужно доказать, что площадь четырёхугольника $$EFHG$$ равна трети площади всего четырёхугольника.
Ход решения
Обозначим $$AG=GH=HD=a$$, $$BE=EF=FC=b$$.
Тогда площадь всего четырёхугольника можно представить как сумму площадей треугольников и среднего четырёхугольника:
$$S_{ABCD}=(S_{ABG}+S_{GEH}+S_{HFD})+(S_{BEG}+S_{EFH}+S_{FCD}).$$
Так как все треугольники с основаниями на одной и той же стороне имеют одинаковую высоту, получаем:
$$S_{ABG}+S_{GEH}+S_{HFD}=\frac{a}{2}\,(DB_1+DE_1+DF_1),$$
$$S_{BEG}+S_{EFH}+S_{FCD}=\frac{b}{2}\,(KG_1+KH_1+KD_1).$$
Поскольку $$BE=EF=FC$$, то соответствующие отрезки на параллельных прямых равны, и потому
$$DB_1+DE_1+DF_1=3DE_1.$$
Аналогично из равенства соответствующих отрезков получаем
$$KG_1+KH_1+KD_1=3KH_1.$$
Следовательно,
$$S_{ABCD}=\frac{3}{2}\,(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1).$$
Теперь найдём площадь среднего четырёхугольника:
$$S_{EFHG}=S_{GEH}+S_{EFH} =\frac{a}{2}\,DE_1+\frac{b}{2}\,KH_1 =\frac{1}{2}\,(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1).$$
Тогда
$$\frac{S_{EFHG}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}\,(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1)}{\frac{3}{2}\,(a\cdot DE_1+b\cdot KH_1)} = \frac{1}{3}.$$
Значит,
$$S_{EFHG}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.$$
Ответ
$$S_{EFHG}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.$$
