Упр.850 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сторона АВ параллелограмма ABCD продолжена за точку В на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на отрезок DK. Прямые ED и КВ пересекаются в точке О. Докажите, что площади четырёхугольников ABOD и СЕОК равны. Точки Е и F лежат на стороне АВ треугольника ABC, причём точка Е лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведённая через точку Е параллельно стороне АС, пересекает прямую, проведённую через точку F параллельно стороне ВС, в точке К. Докажите, что точка К лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне АВ.

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ середину отрезка $$EF$$. Тогда из условия $$AE=BF$$ и того, что точки $$E$$ и $$F$$ лежат на одной прямой $$AB$$, получаем

$$EM=MF.$$

Пусть $$CM$$ — медиана треугольника $$EFK$$. Докажем, что точка $$K$$ лежит на прямой $$CM$$.

Проведём через точку $$F$$ прямую, параллельную $$AC$$, а через точку $$E$$ — прямую, параллельную $$BC$$. Обозначим точки пересечения этих прямых с прямой $$EK$$ через $$D$$ и $$G$$ соответственно.

Тогда четырёхугольник $$KGCD$$ — параллелограмм, так как $$KG \parallel CD$$ и $$GC \parallel KD$$. Следовательно, его диагональ $$KC$$ делит параллелограмм на равные по площади треугольники, значит

$$S_{KGC}=S_{KDC}.$$

Рассмотрим треугольники $$EFC$$ и $$EFB$$. Так как $$EF \parallel AB$$, а $$FK \parallel BC$$, то

$$\angle EFK=\angle ABC,\qquad \angle EKF=\angle ACB.$$

Отсюда треугольники $$EFK$$ и $$ABC$$ подобны. Поскольку $$AE=BF$$, точка $$M$$ — середина $$EF$$, а значит прямая, проходящая через середину стороны треугольника и параллельная одной из его сторон, делит соответствующую медиану пополам. Следовательно, точка $$K$$ лежит на медиане $$CM$$.

Итак, $$K \in CM$$.