Упр.848 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции. В треугольнике ABC (АВ не равен АС) через середину М стороны ВС проведена прямая, Рис. 269 параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.

Рассмотрим треугольник $$DAE$$. Так как $$MD \parallel AF$$, то

$$\angle ADE=\angle BAF=\frac{\angle A}{2}.$$

Кроме того, $$\angle DAE=180^\circ-\angle A$$, значит

$$\angle AED=180^\circ-\left(180^\circ-\angle A+\frac{\angle A}{2}\right)=\frac{\angle A}{2}.$$

Следовательно, $$\triangle DAE$$ равнобедренный, поэтому

$$AD=AE.$$

Обозначим $$BM=MC=d$$, $$FM=f$$. Тогда $$BC=2d$$, а из подобия треугольников $$ABF$$ и $$DMB$$ получаем

$$\frac{BA}{BD}=\frac{BF}{BM}=\frac{d-f}{d}.$$

Отсюда

$$BA=\frac{d-f}{d}\,BD,$$

и потому

$$AD=BD-BA=BD-\frac{d-f}{d}\,BD=\frac{f}{d}\,BD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$MCE$$ и $$FCA$$. Они подобны, так как $$MD \parallel AF$$, а значит соответствующие углы равны. Тогда

$$\frac{CE}{CA}=\frac{CM}{CF}=\frac{d}{d+f}.$$

Следовательно,

$$AE=CA-CE=\left(\frac{d+f}{d}-1\right)CE=\frac{f}{d}\,CE.$$

Но ранее было получено, что $$AD=AE$$. Значит,

$$\frac{f}{d}\,BD=\frac{f}{d}\,CE,$$

откуда

$$BD=CE.$$

Ответ

$$BD=CE.$$