Упр.848 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.
- В треугольнике $$ABC$$ ($$AB \ne AC$$) через середину $$M$$ стороны $$BC$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, которая пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$D$$ и $$E$$. Докажите, что $$BD = CE$$.
Рассмотрим треугольник $$DAE$$. Так как $$MD \parallel AF$$, то
$$\angle ADE=\angle BAF=\frac{\angle A}{2},$$
а также
$$\angle DAE=180^\circ-\angle A.$$
Тогда
$$\angle AED=180^\circ-\left(180^\circ-\angle A+\frac{\angle A}{2}\right)=\frac{\angle A}{2}.$$
Следовательно, $$\triangle DAE$$ равнобедренный, значит
$$AD=AE.$$
Обозначим $$BM=MC=d$$, $$FM=f$$. Тогда из подобия треугольников $$ABF$$ и $$DMB$$ получаем
$$\frac{BA}{BD}=\frac{BF}{BM}=\frac{d-f}{d}.$$
Отсюда
$$AD=BD-BA=BD\left(1-\frac{d-f}{d}\right)=\frac{f}{d}BD.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$MCE$$ и $$FCA$$. Они подобны, так как $$MD \parallel AF$$, а угол при $$C$$ общий. Поэтому
$$\frac{CE}{CA}=\frac{CM}{CF}=\frac{d}{d+f}.$$
Тогда
$$AE=CA-CE=CA\left(1-\frac{d}{d+f}\right)=\frac{f}{d+f}CA.$$
Но из подобия также следует, что
$$\frac{AE}{CE}=\frac{f}{d}.$$
С другой стороны, из выражения для $$AD$$ имеем
$$AD=\frac{f}{d}BD.$$
Так как $$AD=AE$$, то
$$\frac{f}{d}BD=\frac{f}{d}CE,$$
откуда
$$BD=CE.$$
Ответ: $$BD=CE$$.
