Упр.847 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Площади треугольников БОС и AOD равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции. На рисунке 269 изображён правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что: a) треугольник AED и треугольник AFE; 6)DA/DF=DF/AF

а) Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$DOA$$.

Так как $$AB \parallel CD$$, а прямая $$BD$$ — секущая, то $$\angle CBO = \angle ADO$$.

Кроме того, $$\angle BOC = \angle DOA$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle BOC \sim \triangle DOA$$ по двум углам.

Пусть коэффициент подобия равен $$k$$. Тогда

$$k^2=\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{S_1}{S_2}, \qquad k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}.$$

Из подобия получаем:

$$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{k}, \qquad \frac{BO}{DO}=\frac{1}{k}.$$

Тогда

$$S_{DAC}=S_{DAO}+S_{DCO}=(1+k)S_2,$$

$$S_{BAC}=S_{BAO}+S_{BCO}=\left(\frac{1}{k}+1\right)S_1.$$

Следовательно, площадь трапеции

$$S_{ABCD}=S_{DAC}+S_{BAC}=(1+k)S_2+\left(\frac{1}{k}+1\right)S_1.$$

Подставим $$k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$$:

$$S_{ABCD}=S_2+\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}\,S_2+\sqrt{\frac{S_2}{S_1}}\,S_1+S_1.$$

Так как

$$\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}\,S_2=\sqrt{S_1S_2}, \qquad \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}\,S_1=\sqrt{S_1S_2},$$

то

$$S_{ABCD}=S_1+2\sqrt{S_1S_2}+S_2=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2.$$

б) В правильном пятиугольнике сумма внутренних углов равна

$$S_\angle=(5-2)\cdot 180^\circ=540^\circ,$$

поэтому каждый внутренний угол равен

$$\alpha=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ.$$

Так как $$AE=ED$$, треугольник $$AED$$ равнобедренный, значит

$$\angle AED=108^\circ,$$

а углы при основании равны:

$$\angle DAE=\angle ADE=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AFE$$. Так как $$F \in AD$$, то

$$\angle FAE=\angle DAE=36^\circ.$$

Кроме того, $$BE$$ — диагональ правильного пятиугольника, поэтому она образует с его сторонами угол $$36^\circ$$, значит

$$\angle FEA=\angle BEA=36^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle AED \sim \triangle AFE$$ по двум углам.

Из подобия получаем

$$\frac{DA}{DF}=\frac{AE}{AF}.$$

Так как в правильном пятиугольнике все стороны равны, то $$AE=DE$$, а из подобия также следует $$DF=FE$$. Поэтому

$$\frac{DA}{DF}=\frac{DF}{AF}.$$

Ответ

а) $$S_{ABCD}=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2$$; б) $$\triangle AED \sim \triangle AFE$$, $$\dfrac{DA}{DF}=\dfrac{DF}{AF}$$.