Упр.846 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону. Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенство SOAB = SOAC = SOBC. Докажите, что справедливо равенство ОА2 + ОВ2 = 5ОС2.
Пусть $$OD=p,$$ $$OE=q,$$ $$AB=c,$$ $$AC=b,$$ $$BC=a,$$ тогда площадь прямоугольного треугольника $$ABC$$ равна
$$S=\frac12 ab.$$
Так как $$S_{AOB}=S_{AOC}=S_{BOC},$$ то каждая из этих площадей равна $$\frac{S}{3}.$$
Рассмотрим равенство $$S_{AOC}=S_{BOC}.$$ Тогда
$$\frac12\cdot b\cdot q=\frac12\cdot a\cdot p,$$
откуда
$$bq=ap.$$
Но $$S_{AOC}= \frac{S}{3}=\frac16ab,$$ значит
$$\frac12 bq=\frac16ab \quad \Rightarrow \quad q=\frac a3.$$
Тогда из $$bq=ap$$ получаем
$$p=\frac b3.$$
Следовательно,
$$CD=q=\frac a3,\qquad BD=a-q=\frac{2a}{3},$$
$$EC=p=\frac b3,\qquad AE=b-p=\frac{2b}{3}.$$
Теперь по теореме Пифагора:
$$OB^2=BD^2+OD^2=\left(\frac{2a}{3}\right)^2+\left(\frac b3\right)^2=\frac{4a^2+b^2}{9},$$
$$OA^2=AE^2+OE^2=\left(\frac{2b}{3}\right)^2+\left(\frac a3\right)^2=\frac{a^2+4b^2}{9},$$
$$OC^2=CD^2+CE^2=\left(\frac a3\right)^2+\left(\frac b3\right)^2=\frac{a^2+b^2}{9}.$$
Складываем первые два равенства:
$$ OA^2+OB^2=\frac{a^2+4b^2}{9}+\frac{4a^2+b^2}{9} =\frac{5a^2+5b^2}{9} =5\cdot \frac{a^2+b^2}{9} =5OC^2. $$
Ответ
$$OA^2+OB^2=5OC^2.$$
