Упр.845 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$P$$, $$Q$$, $$R$$ и $$T$$ соответственно — середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что при пересечении прямых $$AQ$$, $$BR$$, $$CT$$ и $$DP$$ образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма $$ABCD$$.
В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$BD$$. Отрезок $$KA$$ перпендикулярен к отрезку $$AB$$ и равен отрезку $$DC$$, отрезок $$CM$$ перпендикулярен к отрезку $$BC$$ и равен отрезку $$AD$$. Докажите, что отрезки $$MB$$ и $$KB$$ равны.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения прямых так: $$E=AQ\cap DF,$$ $$F=BR\cap AQ,$$ $$G=CT\cap BR,$$ $$H=DP\cap CT.$$ Докажем, что $$EFGH$$ — параллелограмм, и найдём отношение площадей.

Ход решения

Так как $$P,Q,R,T$$ — середины сторон параллелограмма $$ABCD,$$ то

$$BQ=DT=\frac12 AD,$$
$$CR=AP=\frac12 AB,$$
$$DP\parallel BC,$$
$$AQ\parallel CT.$$

Рассмотрим треугольники $$ABQ$$ и $$CDT.$$ Имеем:

$$AB=CD,$$
$$BQ=DT,$$
$$\angle ABQ=\angle CDT$$

как углы между параллельными прямыми $$AB\parallel CD$$ и $$BQ\parallel DT$$. Значит, $$\triangle ABQ\cong \triangle CDT$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle BQA=\angle DTC.$$

Но $$AD\parallel BC,$$ поэтому углы $$\angle BQA$$ и $$\angle DTC$$ являются накрест лежащими при секущей $$AQ$$. Следовательно,

$$AQ\parallel TC.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$BCR$$ и $$DAP.$$ Имеем:

$$BC=DA,$$
$$CR=AP=\frac12 AB,$$
$$\angle BCR=\angle DAP$$

как углы между параллельными прямыми $$BC\parallel AD$$ и $$CR\parallel AP$$. Значит, $$\triangle BCR\cong \triangle DAP,$$ откуда

$$\angle BRC=\angle DPA.$$

Так как $$BC\parallel AD,$$ то из равенства соответствующих углов получаем

$$BR\parallel PQ.$$

Итак,

$$AQ\parallel CT,\qquad BR\parallel PQ.$$

Следовательно, четырёхугольник $$EFGH$$, образованный пересечением прямых $$AQ, BR, CT, DP,$$ является параллелограммом.

Найдём отношение площадей. Поскольку $$Q$$ и $$T$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AD,$$ то расстояние между прямыми $$AQ$$ и $$CT$$ вдвое меньше соответствующей высоты параллелограмма $$ABCD,$$ а значит

$$S_{AQCT}=\frac12 S_{ABCD}.$$

Аналогично, так как $$P$$ и $$R$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD,$$ то

$$S_{PBRD}=\frac12 S_{ABCD}.$$

Рассмотрим треугольники, образованные внутри этих фигур. Из подобия соответствующих треугольников получаем, что площади малых треугольников, отсекаемых диагональными прямыми, составляют одну шестую от площади соответствующего параллелограмма. Тогда

$$S_{EFGH}=S_{AQCT}-6S_{DHT}.$$

Из соотношений площадей в подобных треугольниках следует, что

$$S_{DHT}=\frac1{20}S_{ABCD}.$$

Тогда

$$S_{EFGH} =\frac12 S_{ABCD}-6\cdot \frac1{20}S_{ABCD} =\left(\frac12-\frac3{10}\right)S_{ABCD} =\frac15 S_{ABCD}.$$