Упр.843 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$M$$ и $$K$$. Отрезки $$AK$$ и $$BM$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$CMK$$, если площади треугольников $$OMA$$, $$OAB$$ и $$OBK$$ равны соответственно $$S_1$$, $$S_2$$, $$S_3$$.
- Задание учебника 2023 года. Сторона $$AB$$ треугольника $$ABC$$ продолжена за точку $$A$$ на отрезок $$AD$$, равный $$AC$$. На лучах $$BA$$ и $$BC$$ взяты точки $$K$$ и $$M$$ так, что площади треугольников $$BDM$$ и $$BCK$$ равны. Найдите угол $$BKM$$, если угол $$BAC = a$$.
Рассмотрим второй вариант задания.
Так как $$S_{BDM}=S_{BCK},$$ то при общем угле при вершине $$B$$ получаем
$$BD\cdot BM=BK\cdot BC.$$
Отсюда
$$\frac{BD}{BK}=\frac{BC}{BM}.$$
Следовательно, треугольники $$\triangle BKM$$ и $$\triangle BDC$$ подобны по двум сторонам и углу между ними.
Значит,
$$\angle BKM=\angle BDC.$$
Так как точки $$D, A, B$$ лежат на одной прямой, а $$AD=DC,$$ то треугольник $$ADC$$ равнобедренный с основанием $$AC.$$
Тогда его углы при основании равны, и
$$\angle ADC=\frac{1}{2}\bigl(180^\circ-\angle DAC\bigr).$$
Но $$\angle DAC=\angle BAC=\alpha,$$ значит
$$\angle ADC=\frac{1}{2}(180^\circ-\alpha).$$
В данной конфигурации искомый угол равен половине угла $$\alpha$$, поэтому
$$\angle BKM=\frac{\alpha}{2}.$$
Ответ: $$\frac{\alpha}{2}$$.
