Упр.842 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС. Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т, а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей четырёхугольника $$ABCD$$. Проведём через $$O$$ прямую, пересекающую $$AB$$ в точке $$M$$ и $$CD$$ в точке $$K$$. Через $$K$$ проведём прямую, параллельную $$AB$$, и пусть она пересекает $$BD$$ в точке $$T$$. Через $$M$$ проведём прямую, параллельную $$CD$$, и пусть она пересекает $$AC$$ в точке $$E$$.

Рассмотрим треугольники $$KTO$$ и $$MBO$$. У них:

$$\angle KTO = \angle MBO$$ как соответственные углы при $$KT \parallel AB$$;
$$\angle KOT = \angle MOB$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle KTO \sim \triangle MBO$$.

Из подобия получаем

$$\frac{KO}{OM}=\frac{TO}{BO}=\frac{KT}{MB}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$KCO$$ и $$MEO$$. У них:

$$\angle KOC = \angle MOE$$ как вертикальные углы;
$$\angle KCO = \angle MEO$$ как соответственные углы при $$ME \parallel CD$$.

Значит, $$\triangle KCO \sim \triangle MEO$$, и потому

$$\frac{KO}{OM}=\frac{CO}{OE}=\frac{KC}{ME}.$$

Из двух подобий следует, что

$$\frac{TO}{BO}=\frac{CO}{OE}.$$

Рассмотрим теперь треугольники $$COT$$ и $$EOB$$. У них:

$$\angle COT = \angle EOB$$ как вертикальные углы;
$$\frac{TO}{BO}=\frac{CO}{OE}$$.

Следовательно, $$\triangle COT \sim \triangle EOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда соответствующие углы равны:

$$\angle CTO = \angle EBO.$$

Но точки $$T, O, B$$ лежат на одной прямой, а точки $$E, O, C$$ — на одной прямой. Значит, прямые $$CT$$ и $$BE$$ образуют равные углы с одной и той же прямой, поэтому

$$BE \parallel CT.$$