Упр.841 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний. Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников КВС и CDM равны соответственно S1 и S2.

а) Пусть прямая $$MN$$ — ось симметрии треугольника $$ABC$$.

По определению оси симметрии при отражении относительно прямой $$MN$$ треугольник переходит сам в себя. Значит, вершина, лежащая на оси симметрии, остаётся на месте, а две другие вершины меняются местами.

Следовательно, ось симметрии проходит через вершину треугольника и делит противоположную сторону пополам, то есть является серединным перпендикуляром к этой стороне. Тогда эта вершина равноудалена от концов основания:

$$AB=AC.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

б) Если у треугольника более одной оси симметрии, то каждая из них проходит через его вершину и является серединным перпендикуляром к противоположной стороне.

Пусть две оси симметрии проходят через вершины $$A$$ и $$B$$. Тогда из первой оси получаем

$$AB=AC,$$

а из второй —

$$AB=BC.$$

Следовательно,

$$AB=BC=CA.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний.

Ответ

а) $$\triangle ABC$$ равнобедренный; б) $$\triangle ABC$$ равносторонний.