Упр.841 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.
- Прямая, проходящая через вершину $$C$$ параллелограмма $$ABCD$$, пересекает прямые $$AB$$ и $$AD$$ в точках $$K$$ и $$M$$. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников $$KBC$$ и $$CDM$$ равны соответственно $$S_1$$ и $$S_2$$.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$.
а)
Если у треугольника есть ось симметрии, то при отражении относительно этой прямой треугольник переходит сам в себя. Значит, вершина, не лежащая на оси симметрии, переходит в другую вершину, а две другие вершины лежат на одинаковом расстоянии от оси.
Следовательно, ось симметрии проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть является серединным перпендикуляром к этой стороне. Тогда две стороны треугольника, прилежащие к этой вершине, равны.
Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.
б)
Пусть у треугольника есть более одной оси симметрии. Тогда каждая ось симметрии проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны.
Если бы треугольник был только равнобедренным, у него была бы одна ось симметрии. Поэтому наличие более чем одной оси симметрии означает, что все три стороны треугольника равны.
Итак, треугольник $$ABC$$ равносторонний.
