Упр.840 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.
Точка А лежит внутри угла, равного $$60^\circ$$. Расстояния от точки А до сторон угла равны $$a$$ и $$b$$. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.

Подробный ответ

Обозначим вершину угла через $$O$$, а точку внутри угла — через $$A$$. Пусть расстояния от точки $$A$$ до сторон угла равны $$a$$ и $$b$$, а сам угол равен $$60^\circ$$.

Проведём из точки $$A$$ перпендикуляры к сторонам угла. Их длины равны $$a$$ и $$b$$. Тогда точка $$A$$ лежит на биссектрисе угла, а расстояние до вершины удобно найти через вспомогательные построения.

Рассмотрим окружность с центром в вершине угла и радиусом, равным расстоянию от вершины до точки $$A$$. Пусть эта окружность пересекает стороны угла в точках $$K$$ и $$M$$. Тогда $$OK=OM=AO=R$$.

Так как $$\angle KOM=60^\circ$$, то центральный угол, соответствующий хорде $$KM$$, равен $$60^\circ$$, а значит, в треугольнике $$KOM$$ все стороны равны, то есть $$KM=R$$.

Теперь рассмотрим треугольник с сторонами, равными расстояниям от точки $$A$$ до сторон угла. По теореме косинусов для треугольника с двумя сторонами $$a$$ и $$b$$ и углом между ними $$120^\circ$$ получаем:

$$KM^2=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ$$
$$KM^2=a^2+b^2-2ab\left(-\frac12\right)=a^2+b^2+ab$$

С другой стороны, $$KM=R\sqrt{3}$$, поэтому

$$(R\sqrt{3})^2=a^2+b^2+ab$$
$$3R^2=a^2+b^2+ab$$
$$R=\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}$$

Так как $$AO=2R$$, то

$$AO=2\sqrt{\frac{a^2+b^2+ab}{3}}$$