Упр.838 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Внутри квадрата ABCD взята такая точка М, что угол MAB = 60°, угол MCD=15°. Найдите угол MBC. Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.

Обозначим сторону квадрата через $$a$$.

Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Так как в квадрате $$\angle ADC=90^\circ$$, то

$$\angle MDA=90^\circ-15^\circ=75^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMD=180^\circ-(60^\circ+75^\circ)=45^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle AMD$$ равнобедренный, значит

$$AM=AD=a.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABM$$. В квадрате $$AB=AD=a$$, поэтому

$$AB=AM=a.$$

Значит, $$\triangle ABM$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle ABM=\angle AMB=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Тогда треугольник $$ABM$$ равносторонний. Следовательно,

$$\angle MBC=\angle ABC-\angle ABM=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Ответ

$$30^\circ$$