Упр.837 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму угол BAE+угол CAE+угол DAE. Сторона АВ параллелограмма ABCD продолжена за точку В на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на отрезок DK. Прямые ED и КВ пересекаются в точке О. Докажите, что площади четырёхугольников ABOD и СЕОК равны.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения прямых $$ED$$ и $$KB$$ через $$O$$.

Площадь четырёхугольника $$ABOD$$ можно представить как сумму площадей треугольников $$ABD$$ и $$BOD$$:

$$S_{ABOD}=S_{ABD}+S_{BOD}.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то диагональ $$BD$$ делит его на два равновеликих треугольника, значит

$$S_{ABD}=\frac12 S_{ABCD}.$$

Следовательно,

$$S_{ABOD}=\frac12 S_{ABCD}+S_{BOD}.$$

Аналогично для четырёхугольника $$CEOK$$:

$$S_{CEOK}=S_{CED}-S_{AODG}$$

удобнее рассмотреть его как разность площадей частей, получающихся при разбиении параллелограмма прямыми $$ED$$ и $$KB$$. Тогда

$$S_{CEOK}=\frac12 S_{ABCD}+S_{CGK}-S_{OGD}.$$

С другой стороны, из рисунка видно, что треугольники $$BDK$$ и $$CDK$$ имеют общее основание $$DK$$ и равные высоты, опущенные из точек $$B$$ и $$C$$ на прямую $$DK$$, так как $$BC \parallel AD \parallel DK$$. Значит,

$$S_{BDK}=S_{CDK}.$$

Но

$$S_{BDK}=S_{BOG}+S_{OGD}, \qquad S_{CDK}=S_{CGK}+S_{OGD}.$$

Отсюда

$$S_{BOG}=S_{CGK}.$$

Тогда в выражениях для площадей четырёхугольников получаем:

$$S_{ABOD}=\frac12 S_{ABCD}+S_{BOD},$$

$$S_{CEOK}=\frac12 S_{ABCD}+S_{CGK}-S_{OGD}=\frac12 S_{ABCD}+S_{BOG}-S_{OGD}=S_{ABOD}.$$

Следовательно, площади четырёхугольников равны.