Упр.834 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
ABCD-прямоуг;
AE,BE-биссект;
CG,DG-биссект;
Доказать:
EFGH-квадр;
Решение:
1) В прямоугольнике ABCD:
угол A=угол B=угол C=угол D=90°;
AB=CD, BC=AD;
2) Рассмотрим треугольник BEA:
угол BAE=угол ABE=1/2•90°=45°;
угол E=180°-(угол A+угол B)=90°;
3) Рассмотрим треугольник CGD:
угол DCG=угол CDG=1/2•90°=45°;
угол G=180°-(угол C+угол D)=90°;
4) Рассмотрим треугольник AFD:
угол DAF=угол ADF=1/2•90°=45°;
угол F=180°-(угол A+угол D)=90°;
угол A=угол D, AF=DF;
5) По гипотенузе и углу:
AB=CD, угол BAE=угол CDG=45°;
треугольник ABE=треугольник CGD,отсюда DG=AE;
6) В четырехугольнике EFGH:
EF=AF-AE=DF-DG=FG;
угол FEH=угол BEA, угол FGH=угол CGD;
угол FEH=угол EFG=угол FGH=90°;
Что и требовалось доказать. Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Площади треугольников БОС и AOD равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.

Обозначим точки пересечения биссектрис углов прямоугольника через $$E, F, G, H$$.

В прямоугольнике $$ABCD$$ все углы равны $$90^\circ$$, значит каждая биссектриса делит свой угол пополам. Поэтому

$$\angle BAE=\angle ABE=\angle DAF=\angle ADF=\angle DCG=\angle CDG=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABE$$. Так как $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, то

$$\angle AEB=180^\circ-90^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Аналогично для треугольника $$CGD$$ получаем

$$\angle CGD=90^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CGD$$. У них

$$AB=CD$$ — противоположные стороны прямоугольника,

$$\angle BAE=\angle CDG=45^\circ,$$

$$\angle ABE=\angle DCG=45^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABE \cong \triangle CDG$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда

$$AE=DG.$$

Аналогично, из равенства треугольников $$AFD$$ и соответствующего ему треугольника получаем

$$AF=DF.$$

Тогда в четырёхугольнике $$EFGH$$

$$EF=AF-AE,$$

$$FG=DF-DG.$$

Так как $$AF=DF$$ и $$AE=DG$$, то

$$EF=FG.$$

Кроме того, стороны $$EF$$ и $$FG$$ лежат на биссектрисах соседних прямых углов прямоугольника, значит

$$\angle EFG=90^\circ.$$

Итак, четырёхугольник $$EFGH$$ имеет равные соседние стороны и прямой угол. Следовательно, $$EFGH$$ — квадрат.

Ответ

$$EFGH$$ — квадрат.