Упр.832 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.
2. Точки $$P$$, $$Q$$, $$R$$ и $$T$$ соответственно — середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что при пересечении прямых $$AQ$$, $$BR$$, $$CT$$ и $$DP$$ образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма $$ABCD$$.

Обозначим через $$X_1$$ середину отрезка $$CX$$, где $$X$$ — произвольная точка прямой $$a$$. Тогда в треугольнике $$ACX$$ отрезок $$A_1X_1$$, соединяющий середины сторон $$AC$$ и $$CX$$, является средней линией, значит

$$A_1X_1 \parallel AX.$$

Так как $$AX \subset a$$, то $$A_1X_1 \parallel a.$$

Кроме того, $$A_1$$ — середина отрезка $$AC$$, поэтому

$$AA_1=A_1C=\frac12 AC.$$

Следовательно, точка $$A_1$$ лежит на прямой, параллельной $$a$$ и проходящей через середину отрезка $$AC$$. Для любой точки $$X$$ прямой $$a$$ середина отрезка $$CX$$ лежит на этой же прямой.

Итак, множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку с точками данной прямой, — это прямая, параллельная данной и находящаяся от данной точки на расстоянии, равном половине расстояния от этой точки до прямой.

Ответ: прямая, параллельная данной прямой и расположенная на половине расстояния от точки до этой прямой.