Упр.829 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и К — основания перпендикуляров, проведённых из точек В и D к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = а. Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.

Подробный ответ

Обозначим через $$F$$ точку на стороне $$AB$$ такую, что $$DE \parallel AF$$. Тогда в треугольнике $$FAE$$ имеем $$AD$$ — биссектриса угла при вершине $$A$$, а также $$DE \perp AD$$. Следовательно, $$AD$$ является и высотой, и биссектрисой треугольника $$FAE$$, значит, этот треугольник равнобедренный:

$$AF=AE=a.$$

Тогда $$D$$ — середина отрезка $$FE$$, откуда

$$FD=DE=\frac12\,FE.$$

Проведём через точку $$D$$ прямую $$GD \parallel AC$$, где $$G \in AB$$. Так как $$GD \parallel AC$$, то треугольники $$FGD$$ и $$FAE$$ подобны. Поэтому

$$\frac{GD}{AE}=\frac{FD}{FE}=\frac12,$$

значит,

$$GD=\frac12\,AE=\frac12\,a.$$

Так как $$AB=BC$$, а $$GD \parallel AC$$, то треугольники $$GBD$$ и $$ABC$$ подобны, откуда $$GB=GD$$. Следовательно, треугольник $$GBD$$ равнобедренный с основанием $$GD$$.

Пусть $$H=GD \cap BM$$. Поскольку $$BM \perp AC$$ и $$GD \parallel AC$$, то $$BH \perp GD$$. В равнобедренном треугольнике $$GBD$$ высота $$BH$$ является также медианой, значит, $$H$$ — середина отрезка $$GD$$. Тогда

$$GH=HD=\frac12\,GD=\frac14\,a.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$MHDK$$. Имеем $$HM \perp DK$$, так как $$BM \perp AC$$ и $$DK \perp AC$$, а также $$HD \parallel MK$$, поскольку $$HD \subset GD$$ и $$GD \parallel AC$$, а точки $$M$$ и $$K$$ лежат на прямой $$AC$$. Следовательно, $$MHDK$$ — параллелограмм, поэтому

$$MK=HD=\frac14\,a.$$